Bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 trang 131, 132 SGK Toán 9 tập 2 - Bài tập ôn cuối năm - Phần đại số

Bài 1 trang 131 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:

Xét các mệnh đề sau:

I. \(\sqrt {\left( { - 4} \right).\left( { - 25} \right)}  = \sqrt { - 4} .\sqrt { - 25}\) ;                      

II. \(\sqrt {\left( { - 4} \right).\left( { - 25} \right)}  = \sqrt {100}\)

III. \(\sqrt {100}  = 10\)                                             

IV. \(\sqrt {100}  =  \pm 10\)

Những mệnh đề nào là sai?

Hãy chọn câu trả lời đúng trong các câu A, B, C, D dưới đây:

A. Chỉ có mệnh đề I sai;

B. Chỉ có mệnh đề II sai;

C. Các mệnh đề I và IV sai;

D. Không có mệnh đề nào sai

Lời giải: 

Chọn C vì:

Mệnh đề I sai vì không có căn bậc hai của số âm

Mệnh đề IV sai vì \(\sqrt{100} = 10\) (căn bậc hai số học của 100  là 10)

Các mệnh đề II và III đúng

Bài 2 trang 131 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:

Rút gọn các biểu thức:

\(M = \sqrt {3 - 2\sqrt 2 }  - \sqrt {6 + 4\sqrt 2 } \)

\(N = \sqrt {2 + \sqrt 3 }  + \sqrt {2 - \sqrt 3 } \)

Lời giải:

\(\eqalign{&+)  M = \sqrt {3 - 2\sqrt 2 } - \sqrt {6 + 4\sqrt 2 } \cr & =\sqrt {{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} - 2\sqrt 2 .1 + {1^2}}- \sqrt {{{\left( 2 \right)}^2} + 2.2.\sqrt 2 + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} \cr & = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}^2}} - \sqrt {{{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}^2}} \cr & = \left| {\sqrt 2 - 1} \right| - \left| {2 + \sqrt 2 } \right| \cr & = \sqrt 2 - 1 - 2 - \sqrt 2 = - 3 .\cr} \)

+) 

\(\eqalign{
& N = \sqrt {2 + \sqrt 3 } + \sqrt {2 - \sqrt 3 } \cr
& \Rightarrow {N^2} = {\left( {\sqrt {2 + \sqrt 3 } + \sqrt {2 - \sqrt 3 } } \right)^2} \cr
& = 2 + \sqrt 3 + 2\sqrt {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\left( {2 - \sqrt 3 } \right)} + 2 - \sqrt 3 \cr
& = 4 + 2\sqrt {4 - 3} = 6. \cr} \)

Vì \(N > 0\) nên \(N^2 = 6 ⇒ N = \sqrt6.\)

Vậy \(N = \sqrt {2 + \sqrt 3 }  + \sqrt {2 - \sqrt 3 }  = \sqrt 6. \)

Bài 3 trang 132 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:

 Giá trị của biểu thức \({{2\left( {\sqrt 2  + \sqrt 6 } \right)} \over {3\sqrt {2  + \sqrt 3 }}}\) bằng

(A) \(\displaystyle {{2\sqrt 2 } \over 3}\)         (B) \(\displaystyle {{2\sqrt 3 } \over 3}\)          (C) 1                (D)\(\displaystyle {4 \over 3}\) 

Hãy chọn câu trả lời đúng.

Lời giải:

Ta có: 

\(\eqalign{
& {{2\left( {\sqrt 2 + \sqrt 6 } \right)} \over {3\sqrt {2 + \sqrt 3 }}} = {{2\left( {\sqrt 2 + \sqrt 6 } \right).\sqrt 2 } \over {(3\sqrt{ 2 + \sqrt 3} }) .\sqrt 2 } \cr
& = {{2\left( {2 + 2\sqrt 3 } \right)} \over {3.\sqrt {\left( {2 + \sqrt 3 } \right).2} }} = {{2\left( {2 + 2\sqrt 3 } \right)} \over {3.\sqrt {4 + 2\sqrt 3 } }} \cr
& = {{2\left( {2 + 2\sqrt 3 } \right)} \over {3.\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + 2\sqrt 3 .1 + {1^2}} }} = {{4\left( {1 + \sqrt 3 } \right)} \over {3.\sqrt {{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}^2}} }} \cr
& = {{4\left( {1 + \sqrt 3 } \right)} \over {3\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}} = {4 \over 3}. \cr} \)

Chọn đáp án D.

Bài 4 trang 132 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:

Nếu \(\sqrt {2 + \sqrt x }  = 3\) thì \(x\) bằng:

(A) \(1\);              (B) \(\sqrt7\);                       

(C) \(7\)                (D) \(49\)

Hãy chọn câu trả lời đúng.

Lời giải:

Điều kiện xác định: \(x \geq 0.\)

Ta có: \(\sqrt {2 + \sqrt x }  = 3\)

\(\Leftrightarrow {\left( {\sqrt {2 + \sqrt x } } \right)^2} = {3^2}\)

\(\Leftrightarrow 2 + \sqrt x  = 9\)

\(\Leftrightarrow \sqrt x  = 7 \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x } \right)^2} = {7^2} \Leftrightarrow x = 49 \, \,(thỏa mãn).\)

Chọn đáp án D. 

Bài 5 trang 132 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:

Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:

 \(\displaystyle \left( {{{2 + \sqrt x } \over {x + 2\sqrt x  + 1}} - {{\sqrt x  - 2} \over {x - 1}}} \right).{{x\sqrt x  + x - \sqrt x  - 1} \over {\sqrt x }}.\)

Lời giải:

ĐKXĐ: \(0 < x ≠ 1\).

\(\begin{array}{l}
\left( {\dfrac{{2 + \sqrt x }}{{x + 2\sqrt x + 1}} - \dfrac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}}} \right).\dfrac{{x\sqrt x + x - \sqrt x - 1}}{{\sqrt x }}\\
= \left[ {\dfrac{{2 + \sqrt x }}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}} - \dfrac{{\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}} \right].\dfrac{{x\left( {\sqrt x + 1} \right) - \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x }}\\
= \dfrac{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {\sqrt x - 1} \right) - \left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt x - 1} \right)}}.\dfrac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\sqrt x }}\\
= \dfrac{{x + \sqrt x - 2 - \left( {x - \sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}.\dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x }}\\
= \dfrac{{x + \sqrt x - 2 - x + \sqrt x + 2}}{{\sqrt x }} = \dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x }} = 2.
\end{array}\)

Vậy giá trị của biểu thức đã cho là \(2\) và không phụ thuộc vào giá trị của biến \(x.\)

Bài 6 trang 132 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:

Cho hàm số \(y = ax + b.\) Tìm \(a\) và \(b\), biết rằng đồ thị của hàm số đã cho thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

a) Đi qua hai điểm \(A(1; 3)\) và \(B(-1; -1).\)

b) Song song với đường thẳng \(y = x + 5\) và đi qua điểm \(C(1; 2).\)

Lời giải: 

a) 

Gọi \((d)\) là đồ thị hàm số  \(y = ax + b.\)

Vì \(A(1; 3) \in (d)\) nên \(3 = a.1 + b\) hay \(a+b=3\)

Vì \(B(-1; -1) \in (d)\) nên  \(-1 = a.(-1) + b\) hay \(-a + b = -1\)

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ \matrix{a + b = 3 \hfill \cr - a + b = - 1 \hfill \cr} \right.\) 

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a + b + \left( { - a} \right) + b = 3 + \left( { - 1} \right)\\
a + b = 3
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2b = 2\\
a = 3 - b
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b = 1\\
a = 2
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy \(a = 2; b = 1\)

b) 

Gọi \((d)\) là đồ thị hàm số  \(y = ax + b.\)

Vì \((d): y = ax + b\) song song với đường thẳng \((d’): y = x + 5\) nên suy ra: \(a = a’ = 1,\, b \ne 5.\)

Ta được \((d): y = x + b.\)

Vì \(C (1; 2) \in(d) nên 2 = 1 + b ⇔ b =1\, (TM)\)

Vậy \(a = 1; b = 1.\)

Bài 7 trang 132 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:

Cho hai đường thẳng:

\(y = (m + 1)x + 5 \)    (d₁)

\(y = 2x + n\)     (d₂)

Với giá trị nào của \(m\) và \(n\) thì:

a) d₁ trùng với d₂?

b) d₁ cắt d₂? 

c) d₁ song song với d₂?

Lời giải: 

a) \(({d_1}) \equiv ({d_2})\) khi và chỉ khi \(\left\{ \matrix{m + 1 = 2 \hfill \cr n = 5 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{m = 1 \hfill \cr n = 5 \hfill \cr} \right..\)

b) \((d_1)\) cắt \((d_2)\) \(⇔ m + 1 \neq 2 ⇔ m \ne 1.\)  

c) \(({d_1})//({d_2}) \Leftrightarrow \left\{ \matrix{m + 1 = 2 \hfill \cr n \ne 5 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{m = 1 \hfill \cr n \ne 5 \hfill \cr} \right.\)

Bài 8 trang 132 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:

Chứng minh rằng khi \(k\) thay đổi, các đường thẳng \((k + 1)x – 2y = 1\) luôn đi qua một điểm cố định. Tìm điểm cố định đó. 

Lời giải:

Gọi \(M(x_0;\, y_0)\) là điểm cố định thuộc đồ thị hàm số. Khi đó ta có: 

\(\begin{array}{l}
\left( {k + 1} \right){x_0} - 2{y_0} = 1\;\;\forall \;k \in R\\
\Leftrightarrow k{x_0} + {x_0} - 2{y_0} = 1\;\forall \;k \in R\\
\Leftrightarrow k{x_0} = 1 - {x_0} + 2{y_0}\;\;\;\forall \;k \in R\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_0} = 0\\
1 - {x_0} + 2{y_0} = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_0} = 0\\
{y_0} = - \frac{1}{2}
\end{array} \right.\\ \Rightarrow M\left( {0; - \dfrac{1}{2}} \right).
\end{array}\) 

Vậy đường thẳng đã cho luôn đi qua điểm \(M\left( {0; - \dfrac{1}{2}} \right)\) với mọi \(k \in R.\) 

Sachbaitap.com