Bài 14 trang 7 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Cho tứ diện đều ABCD và phép dời hình f biến ABCD thành chính nó, nghĩa là biến mỗi đỉnh của tứ diện thành một đỉnh của tứ diện. Tìm tập hợp các điểm M trong không gian sao cho \(M = f\left( M \right)\) trong các trường hợp sau đây:

\(\eqalign{  & a)f\left( A \right) = B,f\left( B \right) = C,f\left( C \right) = A;  \cr  & b)f\left( A \right) = B,f\left( B \right) = A,f\left( C \right) = D;  \cr  & c)f\left( A \right) = B,f\left( B \right) = C,f\left( C \right) = D. \cr} \)

Giải

Theo giả thiết \(f\left( A \right) = B\) và \(f\left( B \right) = C,f\left( C \right) = A.\) Bởi vậy \(f\left( M \right) = M\) khi và chỉ khi \(MA = MB = MC.\) Suy ra tập hợp các điểm \(M\) là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).

b) Theo giả thiết \(f\left( A \right) = B\), \(f\left( B \right) = C,f\left( C \right) = D\). Bởi vậy \(f\left( M \right) = M\) khi và chỉ khi \(MA = MB\) và \(MC = MD,\) tức là M đồng thời nằm trên hai mặt phẳng trung trực của AB và CD. Suy ra tập hợp các điểm M là đường thẳng đi qua trung điểm của AB và CD.

c) Theo giả thiết \(f\left( A \right) = B\),\(f\left( C \right) = B,f\left( C \right) = A\). Bởi vậy \(f\left( M \right) = M\) khi và chỉ khi  \(MA = MB = MC=MD\).

Suy ra tập hợp các điểm M gồm một điểm duy nhất là trọng tâm của tứ diện ABCD.

Sachbaitap.com