Bài 17 trang 226 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Trong không gian Oxyz cho tứ diện OABC với A(a ; 0 ; 0), ((0 ; b ; 0), C(0 ; 0 ; c), a, b, c> 0.

1. Chứng minh tam giác ABC có ba góc đều nhọn.

2. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.

3. Kẻ OH vuông góc với mp(ABC), H \( \in \) mp(ABC). Tìm toạ độ điểm H theo a, b, c.

4. Xác định toạ độ điểm O' đối xứng với điểm O qua mp(ABC).

5. Kí hiệu \({\rm{S }} = {\rm{ }}{S_{ABC}},{\rm{ }}{S_1}{\rm{ }} = {\rm{ }}{S_{OAB}},{\rm{ }}{S_2} = {\rm{ }}{S_{OBC}},{\rm{ }}{S_3} = {\rm{ }}{S_{OCA}}.\)

Chứng minh \({S^2} = {\rm{ }}S_1^2{\rm{ }} + {\rm{ }}S_2^2{\rm{ }} + S_3^2.\)

6. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm AB, BC, CA. Chứng minh rằng :

mp (OMN) \( \bot \) mp(OMP)\( \Leftrightarrow {1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{b^2}}} = {1 \over {{c^2}}}.\)

7. Chứng minh rằng với mọi điểm P trên mp(ABC), ta đều có :

                 \({{A{P^2}} \over {A{O^2}}} + {{B{P^2}} \over {B{O^2}}} + {{C{P^2}} \over {C{O^2}}} = {{H{P^2}} \over {H{O^2}}} + 2.\)

Giải

1.Ta có \(A{B^2} = {a^2} + {b^2},B{C^2} = {b^2} + {c^2},C{A^2} = {c^2} + {a^2}\)

\( \Rightarrow A{B^2} + B{C^2} - C{A^2} = 2{b^2} > 0 \)

\(\Rightarrow A{B^2} + B{C^2} > C{A^2} \Rightarrow \) \(\widehat B\) nhọn.

Tương tự, ta suy ra các góc \(\widehat A,\widehat C\) nhọn.

2.Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có tâm \(I({a \over 2};{b \over 2};{c \over 2}),\) bán kính \(R = {1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\)

3.Phương trình mp(ABC): \({x \over a} + {y \over b} + {z \over c} = 1.\)

Đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với mp(ABC) có phương trình là

\(\left\{ \matrix{  x = {1 \over a}t \hfill \cr  y = {1 \over b}t \hfill \cr  z = {1 \over c}t. \hfill \cr}  \right.\)

Suy ra tọc độ giao điểm H của đường thẳng d với mp(ABC) là

\(H = \left( {{{a{b^2}{c^2}} \over {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}}};{{b{a^2}{c^2}} \over {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}}};{{c{a^2}{b^2}} \over {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}}}} \right)\)

4.Vì H là trung điểm của OO’ nên \(\overrightarrow {OO'}  = 2\overrightarrow {OH} ,\) suy ra

\(O' = \left( {{{2a{b^2}{c^2}} \over {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}}};{{2b{a^2}{c^2}} \over {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}}};{{2c{a^2}{b^2}} \over {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}}}} \right)\)

5.Ta có : \({S_1} = {S_{OAB}} = {1 \over 2}ab,{S_2} = {S_{OBC}} = {1 \over 2}ab,\)

\({S_3} = {S_{OCA}} = {1 \over 2}ca.\)

\( \Rightarrow S_1^2 + S_2^2 + S_3^2 = {1 \over 4}\left( {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} \right).\)

Mặt khác, \({V_{OABC}} = d(O,(ABC)) = {{abc} \over {\sqrt {{b^2}{c^2} + {c^2}{a^2} + {a^2}{b^2}} }}\)

Nên \({1 \over {36}}{a^2}{b^2}{c^2} = {1 \over 9}{S^2}.O{H^2}\)

\( \Rightarrow {S^2} = {1 \over 4}\left( {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} \right) = S_1^2 + S_2^2 + S_3^2\) (đpcm).

6. M là trung điểm của AB nên \(M = \left( {{a \over 2};{b \over 2};0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OM}  = \left( {{a \over 2};{b \over 2};0} \right).\)

N là trung điểm của BC nên \(N = \left( {0;{b \over 2};{c \over 2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {ON}  = \left( {0;{b \over 2};{c \over 2}} \right).\)

P là trung điểm của CA nên \(P = \left( {{a \over 2};0;{c \over 2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OP}  = \left( {{a \over 2};0;{c \over 2}} \right).\)

Các mặt phẳng (OMN) và (OMP) có các vectơ pháp tuyến lần lượt là

\(\eqalign{  & \overrightarrow {{n_{(OMN)}}}  = \left[ {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {ON} } \right] = \left( {{{bc} \over 4};{{ - ac} \over 4};{{ab} \over 4}} \right),  \cr  & \overrightarrow {{n_{(OMP)}}}  = \left[ {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {OP} } \right] = \left( {{{bc} \over 4}; - {{ac} \over 4}; - {{ab} \over 4}} \right). \cr} \)

Do đó \(mp(OMN) \bot mp(OMP) \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_{(OMN)}}} .\overrightarrow {{n_{(OMP)}}}  = 0\)

\( \Leftrightarrow {a^2}{b^2} = {b^2}{c^2} + {a^2}{c^2} \Leftrightarrow {1 \over {{c^2}}} = {1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{b^2}}}\) (đpcm).

7. \(P({x_0};{y_0};{z_0}) \in mp(ABC) \Leftrightarrow {{{x_0}} \over a} + {{{y_0}} \over b} + {{{z_0}} \over c} = 1.\)

\({{A{P^2}} \over {A{O^2}}} = {{{{({x_0} - a)}^2} + y_0^2 + z_0^2} \over {{a^2}}} = {{{x_0}^2 + y_0^2 + z_0^2} \over {{a^2}}} - {{2{x_0}} \over a} + 1 \)

\(= {{O{P^2}} \over {{a^2}}} - {{2{x_0}} \over a} + 1.\)

Tương tự, \({{B{P^2}} \over {B{O^2}}} = {{O{P^2}} \over {{b^2}}} - {{2{y_0}} \over b} + 1,{{C{P^2}} \over {C{O^2}}} = {{O{P^2}} \over {{c^2}}} - {{2{z_0}} \over c} + 1\)

Suy ra

\(\eqalign{  & {{A{P^2}} \over {A{O^2}}} + {{B{P^2}} \over {B{O^2}}} + {{C{P^2}} \over {C{O^2}}}\cr& = O{P^2}\left( {{1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{b^2}}} + {1 \over {{c^2}}}} \right)\cr&\;\;\;\;\; - 2\left( {{{{x_0}} \over a} + {{{y_0}} \over b} + {{{z_0}} \over c}} \right) + 3  \cr  &  = O{P^2}.{{{b^2}{c^2} + {c^2}{a^2} + {a^2}{b^2}} \over {{a^2}{b^2}{c^2}}} + 1  \cr  &  = {{O{P^2}} \over {O{H^2}}} + 1 = {{H{P^2} + O{H^2}} \over {O{H^2}}} + 1  \cr  &  = {{H{P^2}} \over {O{H^2}}} + 2(dpcm). \cr} \)

Sachbaitap.com