Bài 31 trang 105 SBT Hình học 10 Nâng cao

Biết các cạnh của tam giác \(ABC\) có phương trình:

\(AB: x-y+4=0 ;\)

\(BC: 3x+5y+4=0 ;\)

\(AC: 7x+y-12=0.\)

a) Viết phương trình đường phân giác trong của góc \(A\).

b) Không dùng hình vẽ, hãy cho biết gốc tọa độ \(O\) nằm trong hay nằm ngoài tam giác \(ABC.\)

Giải

a) Ta tìm được tọa độ các đỉnh của tam giác \(ABC\) là \(A(1 ; 5),\) \( B(-3 ; 1),\) \( C(2 ; -2).\)

Phương trình các đường phân giác trong và ngoài của góc \(A\) là

\( \dfrac{{x - y + 4}}{{\sqrt 2 }} =  \pm  \dfrac{{7x + y - 12}}{{\sqrt {49 + 1} }} \)

\(\Leftrightarrow     \left[ \begin{array}{l}x + 3y - 16 = 0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\3x - y + 2 = 0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\)

Thay lần lượt tọa độ của điểm \(B\) và \(C\) vào vế trái của (1) ta được

\( - 3 + 3 - 16 =  - 16 ; 2 - 6 - 16 =  - 20\)

Suy ra \(B\) và \(C\) cùng phía đối với đường thẳng có phương trình (1).

Vậy phương trình phân giác trong của góc \(A\) là \(3x-y+2=0.\)

b) Thay lần lượt tọa độ của \(O\) vào vế trái phương trình của \(BC, AC, AB\) ta được: \(4, -12, 4.\)

Thay tọa độ của \(A, B, C\) lần lượt vào vế trái của phương trình của \(BC, AC, AB\) ta được: \(32, -32, 8.\)

Vậy \(O\) và \(A\) nằm cùng phía đối với \(BC, O\) và \(B\) nằm cùng phía đối với \(AC, O\) và \(C\) nằm cùng phía với \(AB\). Vậy \(O\) nằm trong tam giác \(ABC.\)

Sachbaitap.com