Bài 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43 trang 93, 94, 95, 96 SGK Toán 9 tập 1 - Ôn tập chương I – Hệ thức lượng giác trong tam giác vuông

Bài 33 trang 93 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Chọn kết quả đúng trong các kết quả dưới đây:

a) Trong hình 41, sinα bằng

(A) \( \displaystyle{5 \over 3}\)                     (B) \( \displaystyle{5 \over 4}\)                    (C) \( \displaystyle{3 \over 5}\)                    (D) \( \displaystyle{3 \over 5}\)

b)  Trong hình 42, sin Q bằng

(A) \( \displaystyle{{P{\rm{R}}} \over {R{\rm{S}}}}\)              (B) \( \displaystyle{{P{\rm{R}}} \over {QR}}\)               (C) \( \displaystyle{{P{\rm{S}}} \over {S{\rm{R}}}}\)                (D) \( \displaystyle{{S{\rm{R}}} \over {Q{\rm{R}}}}\) 

c) Trong hình 43, cos 30° bằng

(A) \( \displaystyle{{2{\rm{a}}} \over {\sqrt 3 }}\)                (B) \( \displaystyle{a \over {\sqrt 3 }}\)               (C) \( \displaystyle{{\sqrt 3 } \over 2}\)               (D) \( \displaystyle2\sqrt 3 {a^2}\)   

Lời giải: 

a) 

Ta có: \( \displaystyle\sin \alpha  = \dfrac{3}{5}.\)

Chọn (C) 

b) 

Xét \( \displaystyle\Delta QPR\) vuông tại R ta có: \( \displaystyle\sin Q = \dfrac{PR}{PQ}.\)

Xét \( \displaystyle\Delta RQS\) vuông tại S ta có: \( \displaystyle\sin Q = \dfrac{RS}{RQ}.\)

Chọn (D)

c) Chọn (C) vì:  \( \displaystyle\cos {30^0} = {{\sqrt 3 a} \over {2a}} = {{\sqrt 3 } \over {2}}.\)  

Bài 34 trang 93 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Chọn kết quả đúng trong các kết quả dưới đây:

a) Trong hình 44, hệ thức nào trong các hệ thức sau là đúng? 

(A) \( \displaystyle \sin \alpha  = {b \over c}\)                   (B) \( \displaystyle {\mathop{\rm cotg}\nolimits} \alpha  = {b \over c}\) 

(C) \( \displaystyle tg \alpha  = {a \over c}\)                      (D) \( \displaystyle {\mathop{\rm cotg}\nolimits} \alpha  = {a \over c}\)

b) Trong hình 45, hệ thức nào trong các hệ thức sau không đúng?

(A) \( \displaystyle \sin^2 α + cos^2 α = 1\);

(B) \( \displaystyle \sin α = cos β\);

(C) \( \displaystyle \cos β = sin(90°- α)\);

(D) \( \displaystyle tg \alpha  = {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }}\) 

Lời giải:

a) 

Áp dụng công thức lượng giác ta có:

\(\sin \alpha  = \dfrac{a}{b};\;\;\cos\alpha  = \dfrac{c}{b};\;\tan\alpha  = \dfrac{a}{c};\;\;\cot\alpha  = \dfrac{c}{a}.\)

Vậy C đúng.

Chọn C. 

b) 

Chọn C sai vì: \(\cosβ = \sin(90°-β)\)  nên \(cos β = sin(90°- α)\) là sai, điều này chỉ đúng khi \( β = α=45^o.\)

Bài 35 trang 94 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Tỉ số giữa hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông bằng 19 : 28. Tìm các góc của nó.

Phương pháp: 

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn: \(\tan \alpha = \dfrac{cạnh \, \, đối}{cạnh \, \, kề}.\)

Tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông bằng \(90^o.\)

Lời giải:

Giả sử tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB:AC=19:28\). Ta đi tính góc B và góc C.

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), theo định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn, ta có: 

\(\displaystyle \tan C  ={{AB} \over {AC}}= {{19} \over {28}} \Rightarrow \widehat C  \approx {34^0}10'\)

Vì tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên \(\widehat B+\widehat C=90^0\) suy ra \(\widehat B=90^0-\widehat C=90° - 34°10’ = 55°50’\)

Vậy các góc nhọn của tam giác vuông đó có độ lớn là: \( 34°10’;\, \, 55°50’.\) 

Bài 36 trang 94 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Cho tam giác có một góc bằng 45°. Đường cao chia một cạnh kề với góc đó thành các phần 20cm và 21cm. Tính cạnh lớn trong hai cạnh còn lại (lưu ý có hai trường hợp hình 46 và hình 47)

Lời giải: 

+) Xét hình 46, ta có:

\( BH < HC\,(20cm<21cm) ⇒ AB < AC\) (đường xiên nào có hình chiếu nhỏ hơn thì nhỏ hơn)

\(∆HAB\) vuông tại \(H\) có \(\widehat{ABH} = 45°\) nên là tam giác vuông cân \(⇒ AH = BH = 20 \, (cm).\)

\(∆HAC\) vuông tại \(H,\) theo định lí Py-ta-go có:

\(AC^2=AH^2+HC^2=21^2+20^2=841=29^2.\)

\( \Rightarrow AC = \sqrt {{29^2}}  = 29(cm)\)

Vậy cạnh lớn hơn là \(AC=29cm\)

+) Xét hình 47, ta có:

\( BH > HC\,(21cm>20cm) ⇒ AB > AC\) (đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn)

\(∆ABH\) vuông tại \(H\) có  \(\widehat{B} = 45°\) nên là tam giác vuông cân \(⇒ AH = BH = 21 \, (cm)\)

Theo định lý Py-ta-go trong tam giác vuông \(ABH\) ta có:

\( AB = \sqrt {{{AH}^2} + {{BH}^2}}\)\(= \sqrt {{{21}^2} + {{21}^2}}  = 21\sqrt 2  \approx 29,7(cm).\)

Vậy cạnh lớn hơn là \(AB=29,7cm\).

Bài 37 trang 94 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 4,5cm, BC = 7,5cm.

a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A. Tính các góc B, C và đường cao AH của tam giác đó.

b) Hỏi rằng điểm M mà diện tích tam giác MBC bằng diện tích tam giác ABC nằm trên đường nào?

Phương pháp:

+) Chứng minh tam giác có tổng bình phương hai cạnh bằng bình phương cạnh còn lại thì tam giác đó là tam giác vuông. 

+) Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn để tính các góc của tam giác ABC.

+) Áp dụng hệ thức lượng đối với tam giác vuông có đường cao để tính đường cao của tam giác đó.

+) Diện tích tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\): \(S=\dfrac{1}{2}AH.BC=\dfrac{1}{2}AB.AC.\) 

Lời giải:

a) Xét ∆ABC có \(AB^2+AC^2={6^2} + 4,{5^2} = 36 + 20,25\)\( = 56,25 = 7,{5^2}=BC^2.\)

\(\Rightarrow ∆ABC\) vuông tại \(A\)  (định lý Py-ta-go đảo).

 \(\eqalign{&Ta \, \, có: tan B = {{AC} \over {AB}} = {{4,5} \over 6} = 0,75 \Rightarrow \widehat B \approx {37^0} \cr & \Rightarrow \widehat C = {90^0} - \widehat B = {53^0}. \cr} \)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC, có:

\(AH.BC = AB.AC\)

\( \displaystyle \Rightarrow AH = {{AB.AC} \over {BC}} = {{4,5.6} \over {7,5}} = 3,6(cm).\)

b)

Kẻ \(MK \bot BC\) tại \(K.\)

Ta có: \(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AH.BC\) 

\(S_{MBC}=\dfrac{1}{2}MK.BC\)

Từ đó, \( S_{ABC}=S_{MBC} \Leftrightarrow MK= AH=3,6cm.\)

Do đó \(M\) nằm trên hai đường thẳng song song cách \(BC\) một khoảng bằng \(3,6 cm\) (hình vẽ).

Bài 38 trang 95 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Hai chiếc thuyền A và B ở vị trí được minh họa như trong hình 48. Tính khoảng cách giữa chúng (làm tròn đến mét)

Phương pháp: 

+) Áp dụng: Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối.

Lời giải: 

Ta có: \(\widehat {IKB} = {50^0} + {15^0} = {65^0}\) 

\(∆IBK\) vuông tại \(I\) nên \(IB = IK. \tan \widehat{IKB} = 380 . tan 65° ≈ 814,9 (m).\)

\(∆IAK\) vuông tại \(I\) nên \(IA = IK.\tan \widehat{IKA} = 380 . tan 50° ≈ 452,9 (m).\)

Khoảng cách giữa hai thuyền là: \(AB = IB – IA ≈ 814,9 - 452,9 = 362 (m).\)

Bài 39 trang 95 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Tìm khoảng cách giữa hai cọc để căng dây vượt qua vực trong hình 49 (làm tròn đến mét)

Phương pháp: 

+) Áp dụng tính chất hai đường thẳng song song.

+) Dựa vào tỉ số lượng giác của góc nhọn. 

Lời giải:

Giả sử hai cọc được đặt ở 2 điểm \(B\) và \(N\) trong hình vẽ. 

Ta có: \(MN// AC\) (vì cùng vuông với \(AB\)) \( \Rightarrow \widehat{BNM}=\widehat{BCA}=50^0\) (hai góc đồng vị).

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) ta có: \(\tan C = \dfrac{{AB}}{{AC}} \Rightarrow AB = AC.\tan50^o = 20.\tan50^o.\)

\(\Rightarrow BM=AB-AM=20\tan50^o - 5 \approx 18,835 \,m.\)

Xét tam giác \(BMN\) vuông tại \(M\) ta có: \(\sin \widehat {BNM}=\dfrac {BM}{BN}\)\(\Rightarrow BN = \dfrac{{BM}}{{\sin 50^o}} = \dfrac{{18,835}}{{\sin 50^o}} \approx 24,59\;m.\)

Vậy khoảng cách giữa hai cọc là: \(BN \approx 24,59\;m.\)

Bài 40 trang 95 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Tính chiều cao của cây trong hình 50 (làm tròn đến đề - xi – mét)

Phương pháp:

+) Chiều cao của cây bằng chiều cao của người quan sát + khoảng cách tử đỉnh đầu của người đó đến ngọn cây. 

Lời giải:

Xét tam giác vuông ABC vuông tại A ta có: 

\(AC = AB.\tan {35^o} \approx 30.0,7 = 21\,m\)

Chiều cao của cây là:

\(A'C=AA' + AC≈ 1,7 + 21\)\(\, = 22,7 \,m=227\,dm.\)

Bài 41 trang 96 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Tam giác ABC vuông tại \(C\) có \(AC = 2cm, BC = 5cm,\) \(\widehat {BAC} = x,\widehat {ABC} = y\). Dùng các thông tin sau (nếu cần) để tìm \(x – y\):

\(\sin 23°36’ ≈ 0,4;\)

\(\cos66°24’ ≈ 0,4;\)

\(tg21°48’ ≈ 0,4.\) 

Phương pháp:

+) Dựa vào các tỉ số lượng giác của góc nhọn. 

+) Tổng hai góc nhọn của tam giác bằng \(90^0.\)

Lời giải:

Xét tam giác ABC vuông tại C, theo định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn, ta có: \(\displaystyle \tan y =\dfrac{AC}{BC}= {2 \over 5} = 0,4\) nên \(y ≈ 21°48’.\)

Vì tam giác ABC vuông tại C nên \(x+y=90^0\) (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông).

Do đó: \(x = 90° - y ≈ 68°12’.\) 

Vậy: \(x – y ≈ 68°12’ - 21°48’ ≈ 46°24’.\)

Bài 42 trang 96 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Ở một cái thang dài \(3m\) người ta ghi: “ Để đảm bảo an toàn khi dùng thang phải đặt thang này tạo với mặt đất một góc có độ lớn từ \(60^0\) đến \(70^0\)”. Đo góc thì khó hơn đo độ dài. Vậy hãy cho biết: Khi dùng thang đó chân thang phải đặt cách tường bao nhiêu mét để đảm bảo an toàn?

Phương pháp:

+) Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn.

+) Hoặc: Trong tam giác vuông, cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân côsin góc kề.

Lời giải:

Kí kiệu như hình vẽ. 

Cách 1:

Xét tam giác vuông \(ABC\) vuông tại \(C\). Ta có: \(AC=AB.\cos A\) (quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông) 

Vì \(60^0\le \widehat A \le 70^0\) nên ta xét: 

+) Khi \(\widehat {CAB}=60^0\) thì \(AC = AB \cos A = 3\cos60^0 = 1,5 (m)\)

+) Khi \(\widehat {CAB}=70^0\) thì \(AC =  AB\cos A = 3\cos70^0 ≈ 1,03 (m)\)

Vậy khi dùng thang đó, chân thang phải đặt cách tường một khoảng từ \(1,03m\) đến \(1,5m\) để đảm bảo an toàn.

Cách 2:

Vì \(60^0\le \widehat A \le 70^0\) 

\(\Rightarrow \cos 70^o ≤ cosA ≤ \cos 60^o\) 

\(\Rightarrow  AB.\cos 70^o ≤ AB.cosA ≤ AB.\cos 60^o\)

\(\Rightarrow  3.\cos 70^o ≤ AB.cosA ≤ 3.\cos 60^o\)

\(\Rightarrow  1,03 ≤ AC ≤ 1,5\)

Vậy khi dùng thang đó, chân thang phải đặt cách tường một khoảng từ \(1,03m\) đến \(1,5m\) để đảm bảo an toàn.

Bài 43 trang 96 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Đố:

Vào khoảng năm 200 trước Công nguyên, Ơ-ra-tô-xten, một nhà Toán học và thiên văn học Hi Lạp, đã ước lượng được “chu vi” của Trái Đất (chu vi đường Xích Đạo) nhờ hai quan sát sau:

1) Một ngày trong năm, ông ta để ý thấy Mặt Trời chiếu thẳng các đáy giếng ở thành phố Xy-en (Nay gọi là Át–xu-an), tức là tia sáng chiếu thẳng đứng.

2) Cùng lúc đó ở thành phố A-lếch-săng-đri-a cách Xy-en 800km, một tháp cao 25m có bóng trên mặt đất dài 3,1m.

Từ hai quan sát trên, em hãy tính xấp xỉ “chu vi” Trái Đất.

(Trên hình 5, điểm S tượng trưng cho thành phố Xy-en, điểm A tượng trung cho thành phố A-lếch-xăng-đri-a, bóng của tháp trên mặt đất được coi là đoạn thẳng AB).

Phương pháp: 

+) Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn. 

Lời giải: 

Bóng của tháp vuông góc với tháp:

\(∆ABC\) vuông tại \(A.\) Có \(AC=25m;AB=3,1m\) nên 

\(\eqalign{
& tan C = {{AB} \over {AC}} = {{3,1} \over {25}} \approx 0,124 \cr
& \Rightarrow \widehat C = {7,07^0} \cr}\)

Các tia sáng được coi là song song với nhau hay \(BC//SO\) nên \(\widehat {SOA} =\widehat {ACB} = {7,07^0}\)  (hai góc so le trong)  

Vì Thành phố Xy-en nằm ở vị trí điểm S và thành phố A-lếch-xăng-đria nằm ở vị trí điểm A nên \(SA=800km\).

\(800km\) này được coi là ứng với độ dài cung có số đo là \(\widehat {SOA}=7,07^0\)

Mà số đo cả đường tròn (Trái Đất) là \(360^0\) nên chu vi của Trái Đất là: \(\displaystyle 800.{{360^0} \over 7,07^0} \approx 40735,5(km).\) 

Sachbaitap.com