Bài 36 trang 61 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng caoTìm hình nón có thể tích lớn nhất Tìm hình nón có thể tích lớn nhất khi diện tích toàn phần của nó bằng diện tích hình tròn bán kính a cho trước. Giải
Kí hiệu bán kính đáy và chiều cao hình nón lần lượt là x và y (x, y > 0). Khi đó, diện tích toàn phần của hình nón là \(\pi x\sqrt {{x^2} + {y^2}} + \pi {x^2},\) Theo gia thiết ta có \(\eqalign{ & \pi x\sqrt {{x^2} + {y^2}} + \pi {x^2} = \pi {a^2} \cr & \Leftrightarrow x\sqrt {{x^2} + {y^2}} + {x^2} = {a^2} \cr & \cr} \) \( \Leftrightarrow x\sqrt {{x^2} + {y^2}} = {a^2} - {x^2}\) (điều kiện x < a) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {x^2}({x^2} + {y^2}) = {a^4} + {x^4} - 2{a^2}{x^2} \cr & \Leftrightarrow {x^2}{y^2} = {a^4} - 2{a^2}{x^2} \Leftrightarrow {x^2} = {{{a^4}} \over {{y^2} + 2{a^2}}} \cr} \) Khi đó thể tích khối nón là \(V = {1 \over 3}\pi {{{a^4}} \over {{y^2} + 2{a^2}}}.y = {{\pi {a^4}} \over 3}.{y \over {{y^2} + 2{a^2}}}.\) Từ đó V đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \({{{y^2} + 2{a^2}} \over y}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Ta có \({{{y^2} + 2{a^2}} \over y} = y + {{2{a^2}} \over y} \ge 2\sqrt {y.{{2{a^2}} \over y}} = 2\sqrt 2 a.\) Vậy V đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \(y = {{2{a^2}} \over y},\) tức là \(y = a\sqrt 2 \), lúc đó \(x = {a \over 2}.\) Sachbaitap.com
Xem lời giải SGK - Toán 12 Nâng cao - Xem ngay >> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
Xem thêm tại đây:
Bài 4. Mặt nón, hình nón và khối nón
|
Một hình nón có bán kính R và chiều cao bằng 4R.