Bài 3.7, 3.8, 3.9, 3.10, 3.11, 3.12, 3.13, 3.14, 3.15, 3.16 trang 38, 39 SBT Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức

Bài 3.7 trang 38 SBT Toán lớp 10 tập 1 - Kết nối tri thức

Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat A = {45^ \circ },\,\,\widehat C = {30^ \circ },\,\,c = 12.\)

a) Tính độ dài các cạnh còn lại của tam giác.

b) Tính độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác.

c) Tính diện tích của tam giác.

d) Tính độ dài các đường cao của tam giác.

Lời giải:

a) Xét \(\Delta ABC\) có \(\widehat B = {180^ \circ } - \widehat A - \widehat C = {180^ \circ } - {45^ \circ } - {30^ \circ } = {105^ \circ }.\)

Áp dụng định lý sin ta được:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{a}{{\sin A}} = \frac{c}{{\sin C}}}\\{\frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}}\end{array}\,\, \Rightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{a}{{\sin {{45}^ \circ }}} = \frac{{12}}{{\sin {{30}^ \circ }}}}\\{\frac{b}{{\sin {{105}^ \circ }}} = \frac{{12}}{{\sin {{30}^ \circ }}}}\end{array}\,\, \Rightarrow \,\,} \right.} \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{{12\sin {{45}^ \circ }}}{{\sin {{30}^ \circ }}} = 12\sqrt 2 }\\{b = \frac{{12\sin {{105}^ \circ }}}{{\sin {{30}^ \circ }}} = 6\sqrt 2 \left( {\sqrt 3  + 1} \right)}\end{array}} \right.\)

b) Bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác là:

Áp dụng định lý sin ta được:

\(\frac{c}{{\sin C}} = 2R\,\, \Rightarrow \,\,R = \frac{c}{{2\sin C}} = \frac{{12}}{{2\sin {{30}^ \circ }}} = \frac{{12}}{{2.\frac{1}{2}}} = 12.\)

c) Diện tích \(\Delta ABC\) là:

\(S = \frac{1}{2}ab.\sin C = \frac{1}{2}.12\sqrt 2 .6\sqrt 2 \left( {\sqrt 3  + 1} \right).\sin {30^ \circ } = 36\left( {\sqrt 3  + 1} \right)\) (đvdt).

d) Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{S = \frac{1}{2}a.{h_a}}\\{S = \frac{1}{2}b.{h_b}}\\{S = \frac{1}{2}c.{h_c}}\end{array}} \right.\,\, \Rightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{h_a} = \frac{{2S}}{a}}\\{{h_b} = \frac{{2S}}{b}}\\{{h_c} = \frac{{2S}}{c}}\end{array}} \right.\,\, \Rightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{h_a} = \frac{{2.36\left( {\sqrt 3  + 1} \right)}}{{12\sqrt 2 }} = 3\sqrt 2 \left( {\sqrt 3  + 1} \right)}\\{{h_b} = \frac{{2.36\left( {\sqrt 3  + 1} \right)}}{{6\sqrt 2 \left( {\sqrt 3  + 1} \right)}} = 6\sqrt 2 }\\{{h_c} = \frac{{2.36\left( {\sqrt 3  + 1} \right)}}{{12}} = 6\left( {\sqrt 3  + 1} \right)}\end{array}} \right.\)

Bài 3.8 trang 38 SBT Toán lớp 10 tập 1 - Kết nối tri thức

Cho tam giác \(ABC\) có \(a = 19,\,\,b = 6,\,\,c = 15.\)

a) Tính \(\cos A.\)

b) Tính diện tích tam giác.

c) Tính độ dài đường cao \({h_c}.\)

d) Tính độ dài bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác.

Lời giải:

a) Áp dụng định lý cosin ta có:

\(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{6^2} + {{15}^2} - {{19}^2}}}{{2.6.15}} = \frac{{ - 5}}{9}.\)

b) Nửa chu vi \(\Delta ABC\) là: \(p = \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{{19 + 6 + 15}}{2} = 20.\)

Diện tích \(\Delta ABC\) là: \(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}  = \sqrt {20\left( {20 - 19} \right)\left( {20 - 6} \right)\left( {20 - 15} \right)}  = \sqrt {20.1.14.5}  = 10\sqrt {14} .\)

c) Độ dài đường cao \({h_c}\) là:

\(S = \frac{1}{2}c.{h_c}\,\, \Rightarrow \,\,{h_c} = \frac{{2S}}{c} = \frac{{2.10\sqrt {14} }}{{15}} = \frac{{4\sqrt {14} }}{3}.\)

d) Bán kính đường tròn nội tiếp của \(\Delta ABC\) là:

\(S = pr\,\, \Rightarrow \,\,r = \frac{S}{p} = \frac{{10\sqrt {14} }}{{20}} = \frac{{\sqrt {14} }}{2}.\)

Bài 3.9 trang 39 SBT Toán lớp 10 tập 1 - Kết nối tri thức

Cho tam giác \(ABC\) có \(a = 4,\,\,\widehat C = {60^ \circ },\,\,b = 5.\)

a) Tính các góc và các cạnh còn lại của tam giác.

b) Tính diện tích của tam giác.

c) Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A của tam giác.

Lời giải:

a) Áp dụng định lý cosin, ta có:

\(\begin{array}{l}{c^2} = a{}^2 + {b^2} - 2ab.\cos C\\{c^2} = {4^2} + {5^2} - 2.4.5.\cos {60^ \circ }\\{c^2} = 16 + 25 - 40.\frac{1}{2} = 21\,\, \Rightarrow \,\,c = \sqrt {21} \end{array}\)

Áp dụng định lý cosin, ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}}\\{\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}}\end{array}\,\, \Rightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos A = \frac{{25 + 21 - 16}}{{10\sqrt {21} }}}\\{\cos B = \frac{{16 + 21 - 25}}{{8\sqrt {21} }}}\end{array}\,\, \Rightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos A = \frac{3}{{\sqrt {21} }}}\\{\cos B = \frac{2}{{3\sqrt {21} }}}\end{array}\,\, \Rightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\widehat A \approx {{49}^ \circ }}\\{\widehat B \approx {{71}^ \circ }}\end{array}} \right.} \right.} \right.} \right.\)

b) Diện tích \(\Delta ABC\) là \(S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}.4.5.\sin {60^ \circ } = \frac{1}{2}.4.5.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 5\sqrt 3 \)(đvdt)

c) Độ dài đường trung tuyến từ đỉnh A của \(\Delta ABC\) là:

\(\begin{array}{l}m_a^2 = \frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4}\\m_a^2 = \frac{{25 + 21}}{2} - \frac{{16}}{4}\\m_a^2 = 23 - 4 = 19\\ \Rightarrow \,\,{m_a} = \sqrt {19} .\end{array}\)

Bài 3.10 trang 39 SBT Toán lớp 10 tập 1 - Kết nối tri thức

Một tàu các xuất phát từ đảo \(A,\) chạy 50 km theo hướng \(N{24^ \circ }E\) đến đảo \(B\) để lấy thêm ngư cụ, rồi chuyển hướng \(N{36^ \circ }W\) chạy tiếp 130 km đến ngư trường \(C.\)

a) Tính khoảng cách từ vị trí xuất phát từ A đến C (làm tròn đến hàng đơn vị, theo đơn vị đo ki lô mét).

b) Tìm hướng từ A đến C ( đơn vị đến hàng đơn vị, theo đơn vị độ).

Lời giải:

Ta có: \(\widehat B = \left( {{{90}^ \circ } - {{36}^ \circ }} \right) + \left( {{{90}^ \circ } - {{24}^ \circ }} \right) = {120^ \circ }.\)

a) Độ dài đoạn thẳng AC là:

Áp dụng định lý cosin, ta có:

\(\begin{array}{l}A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB.BC.\cos B\\A{C^2} = {50^2} + {130^2} - 2.50.130.\cos {120^ \circ }\\A{C^2} = 2500 + 16900 + 6500 = 25900\\ \Rightarrow \,\,AC = \sqrt {25900}  = 10\sqrt {259}  \approx 161\,\,km\end{array}\)

b) Áp dụng định lý sin, ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{CB}}{{\sin CAB}} = \frac{{AC}}{{\sin ABC}}\,\, \Rightarrow \,\,\frac{{130}}{{\sin CAB}} = \frac{{161}}{{\sin {{120}^ \circ }}}\\ \Rightarrow \,\,\sin CAB = \frac{{130.\sin {{120}^ \circ }}}{{161}} \approx 0,6993\\ \Rightarrow \,\,\widehat {CAB} \approx {44^ \circ }\end{array}\)

Góc AC chếch về hướng tây một góc \({44^ \circ } - {24^ \circ } = {20^ \circ }.\)

Vậy hướng từ A đến C là: \(N{20^ \circ }W\)

Bài 3.11 trang 39 SBT Toán lớp 10 tập 1 - Kết nối tri thức

Một tàu du lịch xuất phát từ bãi biển Đồ Sơn (Hải Phòng), chạy theo hướng \(N{80^ \circ }E\) với vận tốc 20 km/h. Sau khi đi được 30 phút, tàu chuyển sang hướng\(E{20^ \circ }S\) giữ nguyên vận tốc và chạy tiếp 36 phút nữa đến đảo Cát Bà. Hỏi khi đó tàu du lịch cách vị trí xuất phát bao nhiêu ki lô mét.

Lời giải:

Xét \(\Delta ABC\) có \(\widehat B = {80^ \circ } + \left( {{{90}^ \circ } - {{20}^ \circ }} \right) = {150^ \circ }.\)

Độ dài quãng đường \(AB\) là: \(AB = 20.\frac{1}{2} = 10\,\,km.\)

Độ dài quãng đường \(BC\) là: \(BC = 20.\frac{3}{5} = 12\,\,km.\)

Khoảng cách từ điểm xuất phát A đến điểm đích C là:

Áp dụng định lý côsin, ta có:

\(\begin{array}{l}A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB.BC.\cos ABC\\A{C^2} = {10^2} + {12^2} - 2.10.12.\cos {150^ \circ }\\A{C^2} = 100 + 144 - 240.\left( {\frac{{ - \sqrt 3 }}{2}} \right) \approx 452.\\ \Rightarrow \,\,AC \approx \sqrt {452}  \approx 21\,\,km.\end{array}\)

Bài 3.12 trang 39 SBT Toán lớp 10 tập 1 - Kết nối tri thức

Một cây cổ thụ mọc thẳng đứng bên lề một con dốc có độ dốc \({10^ \circ }\) so với phương nằm ngang. Từ một điểm dưới chân dốc, cách gốc cây 31 m người ta nhìn đỉnh ngọn cây dưới một góc \({40^ \circ }\) so với phương nằm ngang. Hãy tính chiều cao của cây.

Lời giải:

Giả sử con dốc là AB, gốc cây đặt tại B, chiều cao cây cổ thụ là đoạn CB.

Khi đó ta có: \( \widehat {BAD} = {10^ \circ },\, \widehat {CAD} = {40^ \circ }\) và \(AB=31m\)

Xét \(\Delta ADC\) vuông tại \(D\) có: \(\widehat {ACB} = {90^ \circ } - \widehat {DAC} = {90^ \circ } - {40^ \circ } = {50^ \circ }.\)

Ta có: \(\widehat {CAB} = \widehat {DAC} - \widehat {DAB} = {40^ \circ } - {10^ \circ } = {30^ \circ }.\)

Chiều cao của cây là:

Áp dụng định lý sin, ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{BC}}{{\sin BAC}} = \frac{{AB}}{{\sin ACB}}\,\, \Rightarrow \,\,BC = \frac{{AB.\sin BAC}}{{\sin ACB}}\\ \Rightarrow \,\,BC = \frac{{31.\sin {{30}^ \circ }}}{{\sin {{50}^ \circ }}} \approx 20,23\,\,m\end{array}\)

Bài 3.13 trang 39 SBT Toán lớp 10 tập 1 - Kết nối tri thức

Cho tam giác \(ABC.\) Chứng minh rằng:

a) \(\cot A + \cot B + \cot C = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{4S}}.\)

b) \(m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{3}{4}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right).\)

Lời giải:

a) \(\cot A + \cot B + \cot C = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{4S}}.\)

\(\begin{array}{l}VT = \frac{{\cos A}}{{\sin A}} + \frac{{\cos B}}{{\sin B}} + \frac{{\cos C}}{{\sin C}} = \frac{{\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}}}{{\frac{{2S}}{{bc}}}} + \frac{{\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}}}{{\frac{{2S}}{{ac}}}} + \frac{{\frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}}}{{\frac{{2S}}{{ab}}}}\\ = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{4S}} + \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{4S}} + \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{4S}}\\ = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{4S}} = VP\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

b) \(m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{3}{4}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right).\)

\(\begin{array}{l}VT = \left( {\frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4}} \right) + \left( {\frac{{{a^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{b^2}}}{4}} \right) + \left( {\frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - \frac{{{c^2}}}{4}} \right)\\ = \frac{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{2} - \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{4}\\ = \frac{3}{4}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) = VP\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

Bài 3.14 trang 39 SBT Toán lớp 10 tập 1 - Kết nối tri thức

Cho tam giác \(ABC\) có hai trung tuyến kẻ từ \(A\) và \(B\) vuông góc. Chứng minh rằng:

a) \({a^2} + {b^2} = 5{c^2}.\)

b) \(\cot C = 2\left( {\cot A + cotB} \right).\)

Lời giải:

a)      \({a^2} + {b^2} = 5{c^2}.\)

Xét \(\Delta AGB\) vuông tại \(G\) có:

\(\begin{array}{l}{c^2} = A{B^2} = A{G^2} + B{G^2}\\{c^2} = {\left( {\frac{2}{3}AM} \right)^2} + {\left( {\frac{2}{3}BN} \right)^2}\\{c^2} = \frac{4}{9}\left( {\frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4}} \right) + \frac{4}{9}\left( {\frac{{{a^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{b^2}}}{4}} \right)\\{c^2} = \frac{4}{9}\left( {\frac{{{a^2} + {b^2} + 2{c^2}}}{2} - \frac{{{a^2} + {b^2}}}{4}} \right)\\{c^2} = \frac{4}{9}.\frac{{{a^2} + {b^2} + 4{c^2}}}{4}\\ \Leftrightarrow \,\,9{c^2} = {a^2} + {b^2} + 4{c^2}\\ \Leftrightarrow \,\,{a^2} + {b^2} = 5{c^2}\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

b)     \(\cot C = 2\left( {\cot A + cotB} \right).\)

\(\begin{array}{l}\cot C = \frac{{\cos C}}{{\sin C}} = \frac{{\frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}}}{{\frac{{2S}}{{ab}}}} = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{4S}} = \frac{{{c^2}}}{S}\\2\left( {\cot A + \cot B} \right) = 2\left( {\frac{{\cos A}}{{\sin A}} + \frac{{\cos B}}{{\sin B}}} \right) = 2\left( {\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{4S}} + \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{4S}}} \right) = \frac{{2.2{c^2}}}{{4S}} = \frac{{{c^2}}}{{S}}\\ \Rightarrow \,\,\cot C = 2\left( {\cot A + \cot B} \right)\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

Bài 3.15 trang 39 SBT Toán lớp 10 tập 1 - Kết nối tri thức

Cho tam giác \(ABC\) có các góc thỏa mãn \(\frac{{\sin A}}{1} = \frac{{\sin B}}{2} = \frac{{\sin C}}{{\sqrt 3 }}.\) Tính số đo các góc của tam giác.

Lời giải:

Áp dụng định lý sin cho \(\Delta ABC\) có \(\frac{{\sin A}}{{BC}} = \frac{{\sin B}}{{AC}} = \frac{{\sin C}}{{AB}}\)

Mặt khác \(\frac{{\sin A}}{1} = \frac{{\sin B}}{2} = \frac{{\sin C}}{{\sqrt 3 }}.\)

Nên \(BC:AC:AB = 1:2:\sqrt 3 \)

Chọn \(BC = 1,\,\,AC = 2,\,\,AB = \sqrt 3 .\)

Áp dụng định lý cosin, ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2AB.AC}}}\\{\cos B = \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2AB.BC}}}\\{\widehat C = {{180}^ \circ } - \widehat A - \widehat B}\end{array}\,\, \Rightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos A = \frac{{3 + 4 - 1}}{{2.2\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}}\\{\cos B = \frac{{3 + 1 - 4}}{{2.\sqrt 3 }} = 0}\\{\widehat C = {{180}^ \circ } - \widehat A - \widehat B}\end{array}\,\, \Rightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\widehat A = {{30}^0}}\\{\widehat B = {{90}^ \circ }}\\{\widehat C = {{60}^ \circ }}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Bài 3.16 trang 39 SBT Toán lớp 10 tập 1 - Kết nối tri thức

Cho tam giác \(ABC\) có \(S = 2{R^2}\sin A\sin B.\) Chứng minh rằng tam giác \(ABC\) là một tam giác vuông.

Lời giải:

Diện tích \(\Delta ABC\) là:

\(S = \frac{{AB.AC.BC}}{{4R}} = \frac{{2R\sin C.2R\sin B.2R\sin A}}{{4R}} = 2{R^2}\sin A.\sin B.\sin C\)

mặt khác \(S = 2{R^2}\sin A\sin B.\)

nên \(\sin C = 1\,\, \Rightarrow \,\,\widehat C = {90^ \circ }\)

\( \Rightarrow \,\,\Delta ABC\) là tam giác vuông tại \(C\) (đpcm).

Sachbaitap.com