Bài 38, 39, 40 trang 123 SGK Toán 9 tập 1 - Luyện tập

Bài 38 trang 123 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Điền các từ thích hợp vào chỗ trống (...): 

a) Tâm của các đường tròn có bán kính \(1cm\) tiếp xúc ngoài với đường tròn \((O;\ 3cm)\) nằm trên ...

b) Tâm của các đường tròn có bán kính \(1cm\) tiếp xúc trong với đường tròn \((O;\ 3cm)\) nằm trên ...

Lời giải: 

a)

Giả sử hai đường tròn (O;3cm) và (O';1cm) tiếp xúc ngoài tại A.

Khi đó \(OO'=R+r=OA+O'A=3+1=4 (cm).\)

Vậy \(O'\) luôn cách \(O\) một khoảng không đổi là \(4cm\). Do đó \(O'\) nằm trên đường tròn tâm \(O\) bán kính \(4cm\). 

Trả lời: Tâm của các đường tròn có bán kính 1cm tiếp xúc ngoài với đường tròn \((O;\ 3cm)\) nằm trên đường tròn \((O; 4cm)\).

b)

Giả sử hai đường tròn (O;3cm) và (O';1cm) tiếp xúc trong tại A.

Khi đó \(OO'=R-r=AO-AO'=3-1=2 (cm).\)

Vậy \(O'\) luôn cách \(O\) một khoảng không đổi là \(2cm\). Do đó \(O'\) nằm trên đường tròn tâm \(O\) bán kính \(2cm\).

Trả lời: Tâm của các đường tròn có bán kính \(1cm\) tiếp xúc trong với đường tròn \((O;3cm)\) nằm trên đường tròn \((O;\ 2cm)\).

Bài 39 trang 123 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Cho hai đường tròn \((O)\) và \((O')\) tiếp xúc ngoài tại \(A\). Kẻ tiếp tuyến chung ngoài \(BC\), \(B\in (O),C\in (O').\) Tiếp tuyến chung trong tại \(A\) cắt tiếp tuyến chung ngoài \(BC\) ở \(I\).

a) Chứng minh rằng \(\widehat{BAC}=90^{\circ}\).

b) Tính số đo góc \(OIO'\). 

c) Tính độ dài \(BC\), biết \(OA=9cm,\ O'A=4cm.\)

Phương pháp:

a) +) Đường tròn \((O)\) có hai tiếp tuyến \(AB,\ AC\) lần lượt tại \(B,\ C\) thì \(AB=AC\).

+) Tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh đó là tam giác vuông.

b) + Đường tròn \((O)\) có hai tiếp tuyến \(AB,\ AC\) lần lượt tại \(B,\ C\) thì \(AO\) là tia phân giác của góc \(BAC\). 

+) Hai tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau.

c) Hai đường tròn \((O)\) và \((O')\) tiếp xúc ngoài tại \(A\) có tiếp tuyến chung là đường thẳng \(d\) thì \(d \bot OO'\) tại \(A\).

+) Hệ thức giữa đường cao và hình chiếu: \(\Delta{ABC}\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\) thì \(AH^2=BH.CH\).

Lời giải:

a)

Xét đường tròn \((O)\) có \(IB,\ IA\) là hai tiếp tuyến lần lượt tại \(B,\ A\)

\(\Rightarrow IB=IA\) (1); \(IO\) là tia phân giác của góc \(BIA \Rightarrow \widehat{I_1}=\widehat{I_2}\) (2)

Xét đường tròn \((O')\) có \(IC,\ IA\) là hai tiếp tuyến lần lượt tại \(C,\ A\)

\(\Rightarrow IC=IA\) (3); \(IO'\) là tia phân giác của góc \(CIA \Rightarrow \widehat{I_3}=\widehat{I_4}\) (4)

Từ (1) và (3) \(\Rightarrow IB=IC=IA=\dfrac{1}{2}BC\)

\(\Rightarrow \Delta{ABC}\) vuông tại \(A\) (tam giác có đường trung tuyến AI ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác đó là tam giác vuông) 

\(\Rightarrow \widehat{BAC}=90^{\circ}\).

b) Cách 1:

Ta có: \(\widehat{I_1}+\widehat{I_2}+\widehat{I_3}+\widehat{I_4}=180^o\) (5)

Từ (2), (3), (5) \(\Leftrightarrow \widehat{I_2}+\widehat{I_2}+\widehat{I_3}+\widehat{I_3}=180^o\)

\(\Leftrightarrow 2\widehat{I_2}+2\widehat{I_3}=180^o\)

\(\Leftrightarrow 2(\widehat{I_2}+\widehat{I_3})=180^o\)

\(\Leftrightarrow \widehat{I_2}+\widehat{I_3}=90^o\)

\(\Leftrightarrow \widehat{OIO'}=90^o\)

Cách 2:  

Vì góc \(BIA\) và góc \(AIC\) là hai góc kề bù

Suy ra \(\widehat{OIO'}=90^{\circ}\) (hai tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau).

c) Vì \(IA\) là tiếp tuyến chung của hai đường tròn nên \(IA \bot OO'\).

Xét tam giác \(OIO'\) vuông tại \(I\) có \(IA\) là đường cao, áp dụng hệ thức giữa đường cao và hình chiếu trong tam giác vuông, ta có:

\(AI^2=AO.AO' \Rightarrow AI^2=9.4=36\)

\(\Rightarrow AI= \sqrt{36}=6 cm\)

Từ câu a, ta có \(AI=\dfrac{BC}{2} \Rightarrow BC=2.AI=2.6=12cm\)

Nhận xét. Câu a), b) chỉ là gợi ý để làm câu c). Đối với những bài toán có hai đường tròn tiếp xúc, ta thường vẽ thêm tiếp tuyến chung tại tiếp điểm để xuất hiện yếu tố trung gian giúp cho việc tính toán hoặc chứng minh được thuận lợi. 

Bài 40 trang 123 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Trên các hình 99a, 99b, 99c, các bánh xe tròn có răng cưa được khớp với nhau. Trên hình nào hệ thống bánh răng chuyển động được? Trên hình nào hệ thống bánh răng không chuyển động được?

Phương pháp: 

+) Nếu hai bánh xe có răng cưa tiếp xúc ngoài với nhau thì chúng quay ngược chiều nhau.

+) Nếu hai bánh xe có răng cưa tiếp xúc trong với nhau thì chúng quay cùng chiều với nhau.

Lời giải:

Quan sát các mũi tên chỉ chiều chuyển động của bánh răng, ta thấy:

+) Hai mũi tên tại vị trí tiếp xúc ở hai bánh răng phải cùng chiều chuyển động.

+) Hai mũi tên trong một bánh răng phải cùng chiều chuyển động. 

Ta thấy, trong hình a và b, tại các vị trí tiếp xúc các mũi tên cùng chiều chuyển động nên bánh răng chuyển động được.

Ta thấy ở hình c, có hai mũi tên chuyển động ngược chiều nhau tại vị trí tiếp xúc nên bánh răng không chuyển động được.

Vì vậy hệ thống bánh răng ở hình a), hình b) chuyển động được. Hệ thống bánh răng ở hình c) không chuyển động được. 

Sachbaitap.com