Bài 3.8 trang 36 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Giải phương trình

\(\cot x - \tan x + 4\sin 2x = {2 \over {\sin 2x}}\)

Giải

Hướng dẫn: Đối với những phương trình lượng giác chứa tanx, cotx, sin2x hoặc cos2x, ta có thể đưa về phương trình chứa cosx, sinx, sin2x, hoặc cos2x ngoài ra cũng có thể đặt ẩn phụ t = tanx để đưa về một phương trình theo t.

Cách 1: Điều kiện của phương trình:

\(\sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow \cos 2x \ne  \pm 1{\rm{       }}\left( 1 \right)\)

Ta có:

\(\eqalign{
& \cot x - \tan x + 4\sin 2x = {2 \over {\sin 2x}} \cr
& \Leftrightarrow {{\cos x} \over {\sin x}} - {{\sin x} \over {\cos x}} + 4\sin 2x - {2 \over {\sin 2x}} = 0 \cr
& \Leftrightarrow {{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \over {\sin x.\cos x}} + 4\sin 2x - {2 \over {\sin 2x}} = 0 \cr
& \Leftrightarrow {{2\cos 2x} \over {\sin 2x}} + 4\sin 2x - {2 \over {\sin 2x}} = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2\cos 2x + 4{\sin ^2}2x - 2 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \cos 2x + 2\left( {1 - {{\cos }^2}2x} \right) - 1 = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2{\cos ^2}2x - \cos 2x - 1 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\cos 2x = 1{\rm{ (loại)}} \hfill \cr
\cos 2x = - {1 \over 2} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow 2x = \pm {{2\pi } \over 3} + k2\pi ,k \in Z \cr
& \Leftrightarrow x = \pm {\pi \over 3} + k\pi ,k \in Z \cr} \)

Cách 2. Đặt t = tanx

Điều kiện t ≠ 0

Phương trình đã cho có dạng

\(\eqalign{
& {1 \over t} - t + 4.{{2t} \over {1 + {t^2}}} = {{1 + {t^2}} \over t} \cr
& \Leftrightarrow {{1 - {t^2}} \over t} + {{8t} \over {1 + {t^2}}} - {{1 + {t^2}} \over t} = 0 \cr
& \Leftrightarrow 1 - {t^4} + 8{t^2} - {\left( {1 + {t^2}} \right)^2} = 0 \cr
& \Leftrightarrow - 2{t^4} + 8{t^2} - 2{t^2} = 0 \cr
& \Leftrightarrow {t^4} - 3{t^2} = 0 \cr
& \Rightarrow {t^2}\left( {{t^3} - 3} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 0{\rm{ }}\left( {{\rm{loại \,\, do}}\left( 2 \right)} \right) \hfill \cr
t = \pm \sqrt 3 \hfill \cr} \right. \cr
& \tan x = \pm \sqrt 3 \Leftrightarrow x = \pm {\pi \over 3} + k\pi ,k \in Z \cr} \)