Bài 4 trang 127 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right) \) :

\({\rm{ }}\left\{ \matrix{
{u_1} = 1,{u_2} = 2 \hfill \cr
{u_{n + 1}} = 2{u_n} - {u_{n - 1}} + 1{\rm\,\,{ với\,\, n}} \ge {\rm{2}} \hfill \cr} \right.\) 

a)      Viết năm số hạng đầu của dãy số ;

b)      Lập dãy số \(\left( {{v_n}} \right) \) với \({v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}\). Chứng minh dãy số \(\left( {{v_n}} \right) \) là cấp số cộng ;

c)      Tìm công thức tính \(\left( {{u_n}} \right) \) theo n.

Giải:

a)      Năm số hạng đầu là 1, 2, 4, 7, 11

b)      Từ công thức xác định dãy số ta có

\({u_{n + 1}} = 2{u_n} - {u_{n - 1}} + 1\) hay \({u_{n + 1}} - {u_n} = {u_n} - {u_{n - 1}} + 1\)   (1)

Vì \({v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}\) nên từ (1), ta có

\({v_n} = {v_{n - 1}} + 1\) với \(n \ge 2\)    (2)

Vậy \(\left( {{v_n}} \right) \) là cấp số cộng với \({v_1} = {u_2} - {u_1} = 1\) công sai d = 1

c)      Để tính \(\left( {{u_n}} \right) \) ta viết

\(\eqalign{
& {v_1} = 1 \cr
& {v_2} = {u_3} - {u_2} \cr
& {v_3} = {u_4} - {u_3} \cr
& ... \cr
& {v_{n - 2}} = {u_{n - 1}} - {u_{n - 2}} \cr
& {v_{n - 1}} = {u_n} - {u_{n - 1}} \cr}\) 

Cộng từng vế n - 1 hệ thức trên và rút gọn, ta được

\({v_1} + {v_2} + ... + {v_{n - 1}} = 1 - {u_2} + {u_n} = 1 - 2 + {u_n} = {u_{n - 1}}\) suy ra

\({u_n} = 1 + {v_1} + {v_2} + ... + {v_{n - 1}} = 1 + {{n\left( {n - 1} \right)} \over 2}\)