Bài 4.13, 4.14, 4.15, 4.16, 4.17, 4.18, 4.19, 4.20, 4.21 trang 54, 55 SBT Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức

Bài 4.13 trang 54 SBT Toán lớp 10 tập 1 - Kết nối tri thức

Cho tam giác \(ABC.\) Gọi \(D,\,\,E\) tương ứng là trung điểm của \(BC,\,\,CA.\) Hãy biểu thị các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {BC} ,\,\,\overrightarrow {CA} \) theo các vectơ \(\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {BE} .\)

Lời giải:

Ta có: \(DE\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\)

\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {DE}  =  - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \)

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DE}  + \overrightarrow {EB}  = \overrightarrow {AD}  - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {EB} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {BE} \\ \Rightarrow \frac{3}{2}\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {BE} \\ \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {BE} } \right) = \frac{2}{3}\overrightarrow {AD}  - \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} \end{array}\)

Ta có: \(\overrightarrow {BC}  = 2\overrightarrow {BD}  = 2\left( {\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} } \right)\)

\(\begin{array}{l} = 2\left( {\overrightarrow {AD}  - \frac{2}{3}\overrightarrow {AD}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} } \right)\\ = 2\left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AD}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} } \right) = \frac{2}{3}\overrightarrow {AD}  + \frac{4}{3}\overrightarrow {BE} \end{array}\)

Ta có: \(\overrightarrow {CA}  = \overrightarrow {DA}  - \overrightarrow {DC}  =  - \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {DC} \)

\(\begin{array}{l} =  - \overrightarrow {AD}  - \frac{1}{2}\left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {AD}  + \frac{4}{3}\overrightarrow {BE} } \right)\\ =  - \overrightarrow {AD}  - \frac{1}{3}\overrightarrow {AD}  - \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} \\ =  - \frac{4}{3}\overrightarrow {AD}  - \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} \end{array}\)

Bài 4.14 trang 54 SBT Toán lớp 10 tập 1 - Kết nối tri thức

Cho tam giác \(OAB\) vuông cân, với \(OA = OB = a.\) Hãy xác định độ dài của các vectơ sau \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} ,\,\,\overrightarrow {OA}  - \overrightarrow {OB} ,\,\,\overrightarrow {OA}  + 2\overrightarrow {OB} ,\,\,2\overrightarrow {OA}  - 3\overrightarrow {OB} .\)

Lời giải:

+) Theo quy tắc hình bình hành, \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OC} \) với C là đỉnh thứ tư của hình bình hành \(OACB\)

Ta có: tứ giác \(OACB\) là hình bình hành

mặt khác \(\Delta OAB\) vuông cân tại \(A\)

nên tứ giác \(OACB\) là hình bình hành

\( \Rightarrow \) \(\left| {\overrightarrow {OC} } \right| = OC = \sqrt {O{A^2} + O{B^2}}  = \sqrt {{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 2 \)

+) Ta có: \(\overrightarrow {OA}  - \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {BA} \)

Xét \(\Delta OAB\) vuông cân tại \(A\) có:

\( \Rightarrow \) \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = AB = \sqrt {O{A^2} + O{B^2}}  = \sqrt {{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 2 \)

+) Gọi điểm \(D\) là điểm đối xứng với \(O\) qua \(B\)

\( \Rightarrow \) \(2\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OD} \) và \(OD = 2a.\)

Theo quy tắc hình bình hành, ta có: \(\overrightarrow {OA}  + 2\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow {OE} \) với \(E\) là điểm thứ tư của hình bình hành \(OAED\)

Ta có: tứ giác \(OAED\) là hình bình hành

Mặt khác \(\widehat {DOA} = {90^ \circ }\)

Nên tứ giác \(OAED\) là hình chữ nhật

Xét hình chữ nhật \(OAED\) có:

\( \Rightarrow \) \(\left| {\overrightarrow {OE} } \right| = OE = \sqrt {O{A^2} + O{D^2}}  = \sqrt {{a^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}}  = a\sqrt 5 \)

+) Lấy điểm \(F\) đối xứng với \(B\) qua \(D\) và \(G\) đối xứng với \(O\) qua \(A\)

\( \Rightarrow \) \(2\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow {OG} ,\) \(3\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OF} ,\) \(OG = 2a,\)\(OF = 3a\)

Ta có: \(2\overrightarrow {OA}  - 3\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OG}  - \overrightarrow {OF}  = \overrightarrow {FG} \)

Xét \(\Delta OFG\) vuông tại \(O\) có:

\( \Rightarrow \) \(\left| {\overrightarrow {FG} } \right| = FG = \sqrt {O{F^2} + O{G^2}}  = \sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}}  = a\sqrt {13} \)

Bài 4.15 trang 54 SBT Toán lớp 10 tập 1 - Kết nối tri thức

Cho tam giác \(ABC\) có trực tâm \(H,\) trọng tâm \(G\) và tâm đường tròn ngoại tiếp \(O.\)

a) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC.\) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AH}  = 2\overrightarrow {OM} .\)

b) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OH} .\)

c) Chứng minh rằng ba điểm \(G,\,\,H,\,\,O\) cùng thuộc một đường thẳng.

Lời giải:

a) Xét \((O)\) có: \(\widehat {ABA'} = \widehat {ACA'} = {90^ \circ }\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\( \Rightarrow A'C \bot AC\) và \(A'B \bot AB\)       (1)

Ta có: \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC.\)

\( \Rightarrow BH \bot AC\) và \(CH \bot AB\)                  (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) \(BH\)//\(A'C\) và \(A'B\)//\(CH.\)

Xét tứ giác \(ABHC\) có: \(BH\)//\(A'C\) và \(A'B\)//\(CH\)

\( \Rightarrow \) tứ giác \(ABHC\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

\( \Rightarrow \overrightarrow {BH}  = \overrightarrow {A'C} \)

Ta có: tứ giác \(ABHC\) là hình bình hành

nên \(M\) là trung điểm của \(A'H\)

Xét \(\Delta AA'H\) có: \(M\) là trung điểm của \(A'H\)

\(O\) là trung điểm của \(AA'\)

\( \Rightarrow \) \(MO\) là đường trung bình của \(\Delta AA'H\)

\( \Rightarrow \) \(MO\)//\(AH\) và \(2MO = AH\)

\( \Rightarrow \) hai vectơ \(\overrightarrow {MO} ,\,\,\overrightarrow {AH} \) cùng hướng và \(2\overrightarrow {OM}  = \overrightarrow {AH} .\)

b) Ta có:

\(\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = \left( {\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {MC} } \right) = 2\overrightarrow {OM}  + \left( {\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right) = 2\overrightarrow {OM} \)

Ta có: \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OA}  + 2\overrightarrow {OM}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {AH}  = \overrightarrow {OH} \)     (3)

c) Ta có: \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\)

nên \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = 3\overrightarrow {OG} .\)        (4)

Từ (3) và (4) \( \Rightarrow \overrightarrow {OH}  = 3\overrightarrow {OG} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {OH} \) và \(\overrightarrow {OG} \) cùng phương

hay ba điểm \(G,\,\,H,\,\,O\) cùng thuộc một đường thẳng.

Bài 4.16 trang 54 SBT Toán lớp 10 tập 1 - Kết nối tri thức

Cho tứ giác \(ABCD.\) Gọi \(M,\,\,N\) theo thứ tự là trung điểm của cạnh \(AB,\,\,CD\) và gọi \(I\) là trung điểm của \(MN.\) Chứng minh rằng với điểm \(O\) bất kì đều có

\(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  = 4\overrightarrow {OI} .\)

Lời giải:

Ta có: \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  = \left( {\overrightarrow {OI}  + \overrightarrow {IA} } \right) + \left( {\overrightarrow {OI}  + \overrightarrow {IB} } \right) + \left( {\overrightarrow {OI}  + \overrightarrow {IC} } \right) + \left( {\overrightarrow {OI}  + \overrightarrow {ID} } \right)\)

\(\begin{array}{l} = 4\overrightarrow {OI}  + \left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB} } \right) + \left( {\overrightarrow {IC}  + \overrightarrow {ID} } \right)\\ = 4\overrightarrow {OI}  + 2\overrightarrow {IM}  + 2\overrightarrow {IN} \\ = 4\overrightarrow {OI} \end{array}\)

Bài 4.17 trang 54 SBT Toán lớp 10 tập 1 - Kết nối tri thức

Cho lục giác \(ABCDEF.\) Gọi \(M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q,\,\,R,\,\,S\) theo thứ tự là trung điểm của các cạnh \(AB,\;\,BC,\,\,CD,\,\,DE,\,\,EF,\,\,FA.\) Chứng minh rằng hai tam giác \(MPR\) và \(NQS\) có cùng trọng tâm.

Lời giải:

Ta có: \(MN\)là đường trung bình của \(\Delta ABC\)

\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {MN}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \)      (1)

Chứng minh tương tự ta được: \(\overrightarrow {PQ}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {CE} \) và \(\overrightarrow {RS}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {EA} \)     (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {PQ}  + \overrightarrow {RS}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CE}  + \overrightarrow {EA} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AE}  + \overrightarrow {EA} } \right) = \overrightarrow 0 \)

\( \Rightarrow \) hai tam giác \(MPR\) và \(NQS\) có cùng trọng tâm.

Bài 4.18 trang 54 SBT Toán lớp 10 tập 1 - Kết nối tri thức

Cho tam giác \(ABC\) đều có trọng tâm \(O.\) \(M\) là một điểm tùy ý nằm trong tam giác. Gọi \(D,\,\,E,\,\,F\) theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của \(M\) trên \(BC,\,\,CA,\,\,AB.\) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {ME}  + \overrightarrow {MF}  = \frac{3}{2}\overrightarrow {MO} .\)

Lời giải:

Gọi đường thẳng đi qua \(M\) và song song với \(AB\) cắt \(BC,\,\,AC\) lần lượt tại \(G,\,\,J\); đường thẳng đi qua \(M\) và song song với \(BC\) cắt \(AB,\,\,AC\) lần lượt tại \(P,\,\,I\); đường thẳng đi qua \(M\) và song song với \(AC\) cắt \(AB,\,\,BC\) lần lượt tại \(Q,\,\,H\).

Ta có: \(MG\)//\(AB\) \( \Rightarrow \) \(\widehat {MGH} = \widehat {ABC} = {60^ \circ }\)

\(MH\)//\(AC\) \( \Rightarrow \) \(\widehat {MHG} = \widehat {ACB} = {60^ \circ }\)

\( \Rightarrow \) \(\Delta MHG\) là tam giác đều

Mặt khác \(MD \bot HG\)

\( \Rightarrow \) \(D\) là trung điểm của \(GH\)

\( \Rightarrow \) \(2\overrightarrow {MD}  = \overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {MH} \)        (1)

Chứng minh tương tự ta được: \(2\overrightarrow {ME}  = \overrightarrow {MQ}  + \overrightarrow {MP} \), \(2\overrightarrow {MF}  = \overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {MJ} \)      (2)

Ta có: tứ giác \(AQMJ,\) \(BPMG,\) \(CIMH\) là hình bình hành

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) \(2\left( {\overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {ME}  + \overrightarrow {MF} } \right) = \overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {MH}  + \overrightarrow {MQ}  + \overrightarrow {MP}  + \overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {MJ} \)

\(\begin{array}{l} = \left( {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {MJ} } \right) + \left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {MH} } \right) + \left( {\overrightarrow {MP}  + \overrightarrow {MG} } \right)\\ = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MB} \\ = \overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OB} \\ = 3\overrightarrow {MO}  + \left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} } \right)\\ = 3\overrightarrow {MO} \end{array}\)

\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {ME}  + \overrightarrow {MF}  = \frac{3}{2}\overrightarrow {MO} \) (đpcm)

Bài 4.19 trang 54 SBT Toán lớp 10 tập 1 - Kết nối tri thức

Cho tam giác \(ABC.\)

a) Tìm điểm \(M\) sao cho \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0 \)

b) Xác định điểm \(N\) thỏa mãn \(4\overrightarrow {NA}  - 2\overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {NC}  = \overrightarrow 0 \)

Lời giải:

a) Giả sử tìm được điểm \(M\) sao cho \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0 \)

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\) và \(J\) là trung điểm của cạnh \(CI\).

Ta có: \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MC}  = \;\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB}  + 2\overrightarrow {MC}  = 2\overrightarrow {MI}  + 2\overrightarrow {MC}  = 4\overrightarrow {MJ} \)

Mặt khác \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0 \)

\( \Rightarrow \) \(4\overrightarrow {MJ}  = \overrightarrow 0 \,\, \Rightarrow \,\,\overrightarrow {MJ}  = \overrightarrow 0 \,\, \Rightarrow \,\,M \equiv J\)

Vậy \(M\) là trung điểm của \(CI\).

b) Giả sử tìm được điểm \(N\) thỏa mãn \(4\overrightarrow {NA}  - 2\overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {NC}  = \overrightarrow 0 \)

Gọi \(K\) là trung điểm của \(AC\).

Ta có: \(4\overrightarrow {NA}  - 2\overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {NC}  = 2\left( {\overrightarrow {NA}  - \overrightarrow {NB} } \right) + \left( {\overrightarrow {NA}  + \overrightarrow {NC} } \right) + \overrightarrow {NA} \)

                                                     \(\begin{array}{l} = 2\overrightarrow {BA}  + \left( {\overrightarrow {NK}  + \overrightarrow {KB}  + \overrightarrow {NK}  + \overrightarrow {KC} } \right) + \overrightarrow {NA} \\ = 2\overrightarrow {BA}  + 2\overrightarrow {NK}  + \overrightarrow {NA} \end{array}\)

Gọi \(M\) là điểm thỏa mãn \(2\overrightarrow {MK}  + \overrightarrow {MA}  = 0\)

Khi đó: \(2\overrightarrow {NK}  + \overrightarrow {NA}  = 2\left( {\overrightarrow {NM}  + \overrightarrow {MK} } \right) + \overrightarrow {NM}  + \overrightarrow {MA}  = 3\overrightarrow {NM} \)

Do đó \(4\overrightarrow {NA}  - 2\overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {NC}  = 2\overrightarrow {BA}  + 3\overrightarrow {NM} \)

Mặt khác \(4\overrightarrow {NA}  - 2\overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {NC}  = \overrightarrow 0 \)

\( \Rightarrow \) \(2\overrightarrow {BA}  + 3\overrightarrow {NM}  = \overrightarrow 0 \) \( \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {NM}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \)    (1)

Lấy điểm \(P\) thuộc cạnh \(AB\) sao cho \(\overrightarrow {AP}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \)    (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {NM}  = \overrightarrow {AP} \)

\( \Rightarrow \) tứ giác \(APMN\) là hình bình hành

Vậy điểm \(N\) cần tìm là đỉnh thứ tư của hình bình hành \(APMN\).

Bài 4.20 trang 55 SBT Toán lớp 10 tập 1 - Kết nối tri thức

Cho tam giác \(ABC.\)

a) Tìm điểm \(K\) thỏa mãn \(\overrightarrow {KA}  + 2\overrightarrow {KB}  + 3\overrightarrow {KC}  = \overrightarrow 0 \)

b) Tìm tập hợp các điểm \(M\) thỏa mãn \(\left| {\overrightarrow {MA}  + 2\overrightarrow {MB}  + 3\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MB}  - \overrightarrow {MC} } \right|\)

Lời giải:

a)      Giả sử tìm được điểm \(K\) thỏa mãn \(\overrightarrow {KA}  + 2\overrightarrow {KB}  + 3\overrightarrow {KC}  = \overrightarrow 0 \)

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AC\), \(J\) là trung điểm của \(BC\).

Ta có: \(\overrightarrow {KA}  + 2\overrightarrow {KB}  + 3\overrightarrow {KC}  = \left( {\overrightarrow {KA}  + \overrightarrow {KC} } \right) + 2\left( {\overrightarrow {KB}  + \overrightarrow {KC} } \right) = 2\overrightarrow {KI}  + 4\overrightarrow {KJ} \)     (1)

Lấy điểm \(P\) trên cạnh \(IJ\) sao cho \(\overrightarrow {PI}  + 2\overrightarrow {PJ}  = \overrightarrow 0 \)

Ta có: \(2\overrightarrow {KI}  + 4\overrightarrow {KJ}  = 2\left( {\overrightarrow {KP}  + \overrightarrow {PI} } \right) + 4\left( {\overrightarrow {KP}  + \overrightarrow {PJ} } \right) = 6\overrightarrow {KP} \)        (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {KA}  + 2\overrightarrow {KB}  + 3\overrightarrow {KC}  = 6\overrightarrow {KP} \)

Mặt khác \(\overrightarrow {KA}  + 2\overrightarrow {KB}  + 3\overrightarrow {KC}  = \overrightarrow 0 \)

\( \Rightarrow \) \(6\overrightarrow {KP}  = \overrightarrow 0 \) \( \Leftrightarrow \) \(K \equiv P\)

Vậy điểm \(K\)  thuộc cạnh \(IJ\) sao cho \(\overrightarrow {KI}  + 2\overrightarrow {KJ}  = \overrightarrow 0 \)

b)     Ta có: \(\left| {\overrightarrow {MA}  + 2\overrightarrow {MB}  + 3\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MB}  - \overrightarrow {MC} } \right|\)

\( \Leftrightarrow \,\,\left| {6\overrightarrow {MP} } \right| = \left| {\overrightarrow {CB} } \right|\,\, \Leftrightarrow \,\,MP = \frac{1}{6}BC\)

\( \Rightarrow \) tập hợp điểm \(M\) cần tìm là đường tròn tâm \(P\), bán kính bằng \(\frac{{BC}}{6}\).

Bài 4.21 trang 55 SBT Toán lớp 10 tập 1 - Kết nối tri thức

Một vật đồng chất được thả vào một cốc chất lỏng. Ở trạng thái cân bằng, vật chìm một nửa thể tích trong chất lỏng. Tìm mối liên hệ giữa trọng lực \(\overrightarrow P \) cuẩ vật và lực đẩy Archimedes \(\overrightarrow F \) mà chất lỏng tác động lên vật. Tìm tỉ số giữa trọng lượng riêng của vật và của chất lỏng.

Lời giải:

Lực đẩy Archimedes \(\overrightarrow F \) và trọng lực \(\overrightarrow P \) đều tác dụng nên vật theo phương thẳng đứng, hai lực này ngược hướng nhau. Do vật ở vị trí cân bằng nên hai lực này có cường độ bằng nhau.

Gọi \(d,\,\,d'\) lần lượt là trọng lượng riêng của vật và trọng lượng riêng của chất lỏng.

\(V\) là thể tích của vật.

Khi đó, trọng lượng của vật là: \(P = \left| {\overrightarrow P } \right| = d.V\)       (1)

Lực đẩy Archimedes tác động lên vật có cường độ bằng \(F = \left| {\overrightarrow F } \right| = d'.\frac{V}{2}\)      (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) \(d.V = d'.\frac{V}{2}\,\, \Rightarrow \,\,\frac{d}{{d'}} = \frac{1}{2}\)

Sachbaitap.com