Bài 4.66, 4.67, 4.68, 4.69, 4.70 trang 71 SBT Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức

Bài 4.66 trang 71 SBT Toán lớp 10 tập 1 - Kết nối tri thức

Cho bốn điểm \(A,\,\,B,\,\,C,\,\,D\) trong mặt phẳng. Chứng minh rằng

\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BD}  = 0.\)

Lời giải:

Ta có: \(\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD} \)

\(\overrightarrow {CA}  = \overrightarrow {BA}  - \overrightarrow {BC} \)

\(\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD} \)

Ta có:

\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {BC} \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD} } \right) + \left( {\overrightarrow {BA}  - \overrightarrow {BC} } \right)\left( {\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD} } \right)\)

\( = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AB}  + {\overrightarrow {BC} ^2} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {CD}  - {\overrightarrow {BC} ^2} - \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CD} \)

\( = \left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {CD} } \right) + \left( {\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} } \right) + \left( {{{\overrightarrow {BC} }^2} - {{\overrightarrow {BC} }^2}} \right) + \left( {\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CD}  - \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CD} } \right) = 0\)

\( \Rightarrow \,\,\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BD}  = 0\) (đpcm)

Bài 4.67 trang 71 SBT Toán lớp 10 tập 1 - Kết nối tri thức

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho ba vectơ \(\overrightarrow a  = (1;2),\,\,\overrightarrow b  = (3; - 4),\,\,\overrightarrow c  = ( - 5;3).\)

a) Tính các tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b ,\,\,\overrightarrow b .\overrightarrow c ,\,\,\overrightarrow c .\overrightarrow a \)

b) Tìm góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b  + \overrightarrow c \)

Lời giải:

a) Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 1.3 + 2\left( { - 4} \right) = 3 - 8 =  - 5\)

\(\overrightarrow b .\overrightarrow c  = 3\left( { - 5} \right) + \left( { - 4} \right).3 =  - 15 - 12 =  - 27\)

\(\overrightarrow c .\overrightarrow a  =  - 5.1 + 3.2 =  - 5 + 6 = 1\)

b) Ta có: \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{1^2} + {2^2}}  = \sqrt 5 \)

\(\overrightarrow b  + \overrightarrow c  = \left( {3; - 4} \right) + \left( { - 5;3} \right) = \left( { - 2; - 1} \right)\) \( \Rightarrow \) \(\left| {\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right| = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}}  = \sqrt 5 \)

Ta có: \(\overrightarrow a .\left( {\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right) = 1.\left( { - 2} \right) + 2\left( { - 1} \right) =  - 2 - 2 =  - 4\)

\( \Rightarrow \) \(\cos \left( {\overrightarrow a ;\,\,\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\left( {\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right)}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right|}} = \frac{{ - 4}}{{\sqrt 5 .\sqrt 5 }} = \frac{{ - 4}}{5}\)

\( \Rightarrow \) \(\left( {\overrightarrow a ;\,\,\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right) \approx {143^ \circ }\)

Bài 4.68 trang 71 SBT Toán lớp 10 tập 1 - Kết nối tri thức

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho ba điểm \(A( - 2;1),\,\,B(1;4)\) và \(C(5; - 2).\)

a) Chứng minh rằng \(A,\,\,B,\,\,C\) là ba đỉnh của một tam giác. Tìm tọa độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC.\)

b) Tìm tọa độ trực tâm \(H\) và tâm đường tròn ngoại tiếp \(I\) của tam giác \(ABC.\)

Lời giải:

a) Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = (3;3)\) và \(\overrightarrow {AC}  = (7; - 3)\)

\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) không cùng phương

\( \Rightarrow \) ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) là ba đỉnh của một tam giác

Xét \(\Delta ABC\) có: \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\)

\( \Rightarrow \) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{ - 2 + 1 + 5}}{3} = \frac{4}{3}}\\{y = \frac{{1 + 4 - 2}}{3} = 1}\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \) \(G\left( {\frac{4}{3};1} \right)\)

Vậy tọa độ trọng tâm của tam giác là: \(G\left( {\frac{4}{3};1} \right)\)

b) Gọi \(H(x;y)\) là trực tâm của \(\Delta ABC\)

Ta có: \(\overrightarrow {CH}  = (x - 5;y + 2)\) và \(\overrightarrow {BH}  = (x - 1;y - 4)\)

\( \Rightarrow \) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {CH} .\overrightarrow {AB}  = 0}\\{\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3\left( {x - 5} \right) + 3\left( {y + 2} \right) = 0}\\{7\left( {x - 1} \right) - 3\left( {y - 4} \right) = 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 3}\\{7x - 3y =  - 5}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{2}{5}}\\{y = \frac{{13}}{5}}\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \) \(H\left( {\frac{2}{5};\frac{{13}}{5}} \right)\)

Gọi \(I(x';y')\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\)

Ta có: \(\overrightarrow {IH}  = \left( {\frac{2}{5} - x';\frac{{13}}{5} - y'} \right)\) và \(\overrightarrow {IG}  = \left( {\frac{4}{3} - x';1 - y'} \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {IH}  = 3\overrightarrow {IG} \,\, \Leftrightarrow \,\,\left( {\frac{2}{5} - x';\frac{{13}}{5} - y'} \right) = 3\left( {\frac{4}{3} - x';1 - y'} \right)\)

\( \Leftrightarrow \) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{2}{5} - x' = 4 - 3x'}\\{\frac{{13}}{5} - y' = 3 - 3y'}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x' = \frac{{18}}{5}}\\{2y' = \frac{2}{5}}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x' = \frac{9}{5}}\\{y' = \frac{1}{5}}\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \) \(I\left( {\frac{9}{5};\frac{1}{5}} \right)\)

Vậy \(H\left( {\frac{2}{5};\frac{{13}}{5}} \right)\) và \(I\left( {\frac{9}{5};\frac{1}{5}} \right)\).

Bài 4.69 trang 71 SBT Toán lớp 10 tập 1 - Kết nối tri thức

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho ba điểm \(A(2; - 1),\,\,B(5;3)\) và \(C( - 2;9).\)

a) Tìm điểm \(D\) thuộc trục hoành sao cho \(B,\,\,C,\,\,D\) thẳng hàng.

b) Tìm điểm \(E\) thuộc trục hoành sao cho \(EA + EB\) nhỏ nhất.

c) Tìm điểm \(F\) thuộc trục tung sao cho vectơ \(\overrightarrow {FA}  + \overrightarrow {FB}  + \overrightarrow {FC} \) có độ dài ngắn nhất.

Lời giải:

a) Vì điểm \(D\) thuộc trục hoành nên tạo độ điểm \(D\) là: \(D(x;0)\)

Ta có: \(\overrightarrow {BD}  = (x - 5; - 3)\) và \(\overrightarrow {CD}  = (x + 2; - 9)\)

Để ba điểm \(B,\,\,C,\,\,D\) thẳng hàng

\( \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {BD} \) và \(\overrightarrow {CD} \) cùng phương

\( \Leftrightarrow \) \(\frac{{x - 5}}{{ - 3}} = \frac{{x + 2}}{{ - 9}}\) \( \Leftrightarrow \) \(3x - 15 = x + 2\) \( \Leftrightarrow \) \(x = \frac{{17}}{2}\)

Vậy \(D\left( {\frac{{17}}{2};0} \right)\)

b) Vì điểm \(E\) thuộc trục hoành nên tọa độ điểm \(E\) là: \(E(x;0)\)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có: \(EA + EB \ge AB\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(E\) là giao điểm của \(AB\) với trục \(Ox\)

Ta có: \(\overrightarrow {AE}  = (x - 2;1)\) và \(\overrightarrow {AB}  = (3;4)\)

Để \(E \in AB\) \( \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {AE} \) và \(\overrightarrow {AB} \) cùng phương

\( \Leftrightarrow \) \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{3}{4}\) \( \Leftrightarrow \) \(4x - 8 = 3\) \( \Leftrightarrow \) \(x = \frac{{11}}{4}\)

Vậy \(E\left( {\frac{{11}}{4};0} \right)\)

c) Gọi \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\) \( \Rightarrow \) \(G\left( {\frac{1}{3};\frac{{11}}{3}} \right)\)

Vì điểm \(F\) thuộc trục tung nên tọa độ điểm \(F\) là: \(F(0;y)\)

Ta có: \(\overrightarrow {FA}  + \overrightarrow {FB}  + \overrightarrow {FC}  = 3\overrightarrow {FG} \)

Để \(\overrightarrow {FA}  + \overrightarrow {FB}  + \overrightarrow {FC} \) có độ dài ngắn nhất

\( \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {FG} \) có độ dài ngắn nhất

\( \Leftrightarrow \) \(F\) là hình chiếu của \(G\) trên trục \(Oy\)

\( \Leftrightarrow \) \(F\left( {0;\frac{{11}}{3}} \right)\)

Bài 4.70 trang 71 SBT Toán lớp 10 tập 1 - Kết nối tri thức

Một ô tô có khối lượng 2,5 tấn chạy từ chân lên đỉnh một con dốc thẳng. Tính công của trọng lực tác động lên xe, biết dốc dài 50 m và nghiêng 15° so với phương nằm ngang (trong tính toán, lấy gia tốc trọng trường bằng 10 m/s²).

Lời giải:

Đổi 2,5 tấn = 2500 kg

Trọng lực của ô tô có độ lớn bằng \(\left| {\overrightarrow P } \right| = 2500.10 = 25000\) (N).

Trọng lực \(\overrightarrow P \) của ô tô hợp với hướng dời \(\overrightarrow {MN} \) một góc \(\alpha  = {15^ \circ } + {90^ \circ } = {150^ \circ }\)

Trọng lực \(\overrightarrow P \) được phân tích thành hai lực \(\overrightarrow {{P_1}} \) và \(\overrightarrow {{P_2}} \): \(\overrightarrow P  = \overrightarrow {{P_1}}  + \overrightarrow {{P_2}} \) với \(\overrightarrow {{P_1}} \) có phương vuông góc với mặt dốc, \(\overrightarrow {{P_2}} \) có phương song song với mặt dốc.

Công của trọng lực tác động lên xe là:

\(A = \overrightarrow P .\overrightarrow {MN}  = P.MN.\cos {105^ \circ } \approx  - 323524\) (J)

Sachbaitap.com