Bài 49 trang 11 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi K là trung điểm của DD’. Tính khoảng cách giữa CK và A’D.

Giải

(h.34)

Gọi M là trung điểm của BB’.

Ta có \(A'M//KC\) nên

\(\eqalign{  & d\left( {CK,A'D} \right) = d\left( {CK,\left( {A'MD} \right)} \right)  \cr  &  = d\left( {K,\left( {A'MD} \right)} \right). \cr} \)

Đặt \(d\left( {CK,A'D} \right) = x.\) Ta có

\({V_{A'.MDK}} = {V_{K.A'MD}} = {1 \over 3}{S_{A'MD}}.x\;\;\;(1)\)

Mặt khác

\({V_{A'.MDK}} = {V_{M.A'DK}}\)

\( = {1 \over 3}{S_{A'DK}}.d\left( {M,\left( {A'DK} \right)} \right)\)

\(= {1 \over 3}\left( {{1 \over 2}a.{1 \over 2}a} \right).a = {{{a^3}} \over {12}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)\)

Từ (1) và (2) suy ra : \({S_{A'MD}}.x = {{{a^3}} \over 4}.\)

Hạ

\(\eqalign{  & DI \bot A'M \Rightarrow AI \bot A'M  \cr  &  \Rightarrow AI.A'M = AA'.d\left( {M,AA'} \right) = {a^2} \cr&\Rightarrow AI = {{2a} \over {\sqrt 5 }}  \cr  &  \Rightarrow D{I^2} = D{A^2} + A{I^2} = {a^2} + {{4{a^2}} \over 5} = {{9{a^2}} \over 5}\cr& \Rightarrow DI = {{3a} \over {\sqrt 5 }}.  \cr  &  \cr} \)

Vậy \({S_{A'MD}} = {1 \over 2}DI.A'M = {1 \over 2}.{{3a} \over {\sqrt 5 }}.{{a\sqrt 5 } \over 2} = {{3{a^2}} \over 4}.\)

Từ (3) và (4) suy ra \(x = {a \over 3}.\)

Sachbaitap.com