Bài 50 trang 64 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Một hình nón có bán kính đáy r, chiều cao bằng 3r. Tìm hình trụ nội tiếp hình nón và thỏa mãn một trong các điều kiện sau :

1) Thể tích của hình trụ đạt giá trị lớn nhất;

2) Diện tích xung quanh của hình trụ đạt giá trị lớn nhất.

Giải

Xét mặt phẳng qua trục hình nón cắt hình nón và hình trụ nội tiếp hình nón, ta được tam giác cân SAB và hình chữ nhật \(MN{N_1}{M_1}\) nội tiếp SAB. Ở đó AB = 2r, SH = 3r, MN bằng đường kính của đáy hình trụ, \(NN_1\) bằng chiều cao của hình trụ.

Kí hiệu \({r_1}\) là bán kính đáy hình trụ, \({h_1}\) là chiều cao hình trụ, ta có \(0 < {r_1} < r,0 < {h_1} < h\) và

\({{{r_1}} \over r} = {{S{H_1}} \over {SH}} = {{SH - {h_1}} \over {SH}} = {{3r - {h_1}} \over {3r}},\) từ đó \({h_1} = 3(r - {r_1}).\) Khi đó

1) Thể tích hình trụ là

\(V = 3\pi r_1^2(r - {r_1}) = {{3\pi } \over 2}{r_1}.{r_1}(2r - 2{r_1}).\)

Từ đó, V đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \({r_1} = {{2r} \over 3}.\)

2) Diện tích xung quanh của hình trụ là

\(S = 2\pi {r_1}.{h_1} = 3.2\pi {r_1}(r - {r_1}) = 6\pi {r_1}(r - {r_1}).\)

Từ đó S đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \({r_1} = {r \over 2}.\)

Sachbaitap.com