Bài 55 trang 14 SBT Hình học 10 Nâng cao

Cho \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Trên cạnh \(AB\) lấy hai điểm \(M\) và \(N\) sao cho \(AM=MN=NB\).

a) Chứng tỏ rằng \(G\) cũng là trọng tâm tam giác \(MNC\).

b) Đặt \(\overrightarrow {GA}  = \overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow {GB}  = \overrightarrow b \). Hãy biểu thị các vec tơ sau đây qua \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \): \(\overrightarrow {GC} ,\,\overrightarrow {AC} ,\,\overrightarrow {GM} ,\,\overrightarrow {CN} \).

Giải

a) Gọi \(I\) là trung điểm \(MN\) thì \(I\) cũng là trung điểm \(AB\), do đó

\(\overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {GM}  = \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  = 2\overrightarrow {GI} .\)

Suy ra

\(\overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {GN}  + \overrightarrow {GC} \)

\(= \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \).

Vậy \(G\) cũng là trọng tâm của tam giác \(MNC.\)

b) Ta có

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {GC}  =  - \overrightarrow a  - \overrightarrow b ;\\\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {GC}  - \overrightarrow {GA}  =  - 2\overrightarrow a  - \overrightarrow b .\\\overrightarrow {GM}  = \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {AM}  \\= \overrightarrow a  + \dfrac{1}{3}(\overrightarrow b  - \overrightarrow a ) \\= \dfrac{{2\overrightarrow a  + \overrightarrow b }}{3}.\\\overrightarrow {CN}  = \overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {AN} \\ = 2\overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \dfrac{2}{3}(\overrightarrow b  - \overrightarrow a )\\ = \dfrac{{4\overrightarrow a  + 5\overrightarrow b }}{3}.\end{array}\)

Sachbaitap.com