Bài 56, 57, 58, 59, 60 trang 89, 90 SGK Toán 9 tập 2 - Luyện tập

Bài 56 trang 89 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:

Xem hình 47. Hãy tìm số đo các góc của tứ giác \(ABCD.\)

Lời giải:

Ta có \(\widehat{BCE} = \widehat{DCF}\) (hai góc đối đỉnh)

Đặt \(x = \widehat{BCE} = \widehat{DCF}\). Theo tính chất góc ngoài tam giác, ta có:

      \(\widehat{ABC}= x+40^0\)  (góc ngoài của \(\Delta BCE\).)      (1) 

      \(\widehat{ADC}=x +20^0\)   (góc ngoài của \(\Delta DCF\).)          (2)

Lại có \(\widehat{ABC} +\widehat{ADC}=180^0.\)  (hai góc đối diện tứ giác nội tiếp).  (3) 

Từ (1), (2), (3) suy ra:   \(180^0 =2x + 60^0 \Rightarrow x = 60^0.\)  

Hay \( \widehat{BCE} = \widehat{DCF}=60^0. \)

Từ (1), ta có: \(\widehat{ABC}=60^0 +40^0 =100^0.\)  

Từ (2), ta có: \(\widehat{ADC} = 60^0+20^0 = 80^0.\)  

\(\widehat{BCD}= 180^0  – \widehat{BCE} \) (hai góc kề bù)

\(\Rightarrow\widehat{BCD} = 120^0\)  

\(\widehat{BAD} = 180^0  - \widehat{BCD}\) (hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp)

\(\Rightarrow \widehat{BAD}= 180^0– 120^0= 60^0.\)

Bài 57 trang 89 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:

Trong các hình sau, hình nào nội tiếp được một đường tròn:

Hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông, hình thang, hình thang vuông, hình thang cân ? Vì sao?

Phương pháp:

Lời giải:

* Hình bình hành nói chung không nội tiếp được đường tròn vì tổng hai góc đối diện không chắc bằng \(180^0\).

* Trường hợp riêng của hình bình hành là hình chữ nhật (hay hình vuông) thì nội tiếp đường tròn vì tổng hai góc đối diện là \(90^0  + 90^0= 180^0.\)

* Hình thang nói chung và hình thang vuông không nội tiếp được đường tròn tổng hai góc đối diện không chắc bằng \(180^0\).

* Hình thang cân \(ABCD \, (BC= AD)\) có hai góc ở mỗi đáy bằng nhau: \(\widehat{A}= \widehat{B},\) \(\widehat{C} =\widehat{D}\)

Vì \(AD // CD\) nên \(\widehat{A} +\widehat{D} = 180^0\)  (hai góc trong cùng phía), suy ra \(\widehat{A} +\widehat{C} =180^0\).

Vậy hình thang cân luôn có tổng hai góc đối diện bằng \(180^0\) nên là tứ giác nội tiếp.

Bài 58 trang 90 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:

Cho tam giác đều \(ABC.\) Trên nửa mặt phẳng bờ \(BC\) không chứa đỉnh \(A,\) lấy điểm \(D\) sao cho \(DB = DC\) và \(\widehat{DCB}=\dfrac{1}{2}\widehat{ACB}.\)

a) Chứng minh \(ABDC\) là tứ giác nội tiếp.

b) Xác định tâm của đường tròn đi qua bốn điểm \(A,\, B,\, D, \,C\).

Lời giải:

a) Vì tam giác ABC đều (gt) nên \(\widehat{ACB}=60^0\)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{DCB}=\dfrac{1}{2}\widehat{ACB} = \dfrac{1}{2} .60^0= 30^0.\)  

 \(\widehat{ACD}=\widehat{ACB} +\widehat{BCD}\)  (tia \(CB\) nằm giữa hai tia \(CA,\, CD\))

\(\Rightarrow\)\(\widehat{ACD}=60^0+ 30^0=90^0\)  (1)

Do \(DB = CD\) nên \(∆BDC\) cân tại \(D\) \(\Rightarrow \widehat{DBC} = \widehat{DCB} = 30^0\)

Từ đó \(\widehat{ABD}= 30^0+60^0=90^0\) (2)

Từ (1) và (2) có \(\widehat{ACD}+ \widehat{ABD}=180^0\) nên tứ giác \(ABDC\) là tứ giác nội tiếp.

b) Vì \(\widehat{ABD}  = 90^0\) nên \(AD\) là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD. Mà ABDC là tứ giác nội tiếp nên \(AD\) cũng là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABDC. Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(ABDC\) là trung điểm \(AD.\)

Bài 59 trang 90 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:

Cho hình bình hành ABCD. Đường tròn đi qua ba đỉnh A, B, C cắt đường thẳng CD tại P khác C. Chứng minh AP = AD.

Lời giải:

Cách 1:

Do tứ giác \(ABCP\) nội tiếp nên \(\widehat{BAP} + \widehat{BCP} = 180^0.\)        (1)

Mà CD // AB nên \(\widehat{ABC}+ \widehat{BCP}=  180^0\) (hai góc trong cùng phía).      (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) \(\widehat{BAP}= \widehat{ABC}.\)

Mà CP // AB (do CD // AB) nên \(ABCP\) là hình thang

Nên \(ABCP\) là hình thang cân (Dấu hiệu nhận biết)

\(\Rightarrow\) \(AP = BC.\) (Tính chất hình thang cân) (3)

Mà \(BC = AD\) (do ABCD là hình bình hành)  (4)

Từ (3) và (4) \(\Rightarrow\) \(AP = AD\) (đpcm).

Cách 2: 

Vì ABCP là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat{ABC}+ \widehat{APC}= 180^0\)

Mà ABCD là hình bình hành nên \(\widehat {ABC} = \widehat {ADC}\) (Tính chất hình bình hành)

Hơn nữa, \(\widehat {APC} + \widehat {APD} = {180^0}\)  (2 góc kề bù)

\( \Rightarrow \widehat {APD} = \widehat {ADC}\)

\(\Rightarrow\) Tam giác ADP cân tại A

\(\Rightarrow\) AP = AD (đpcm)

Bài 60 trang 90 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:

Xem hình 48. Chứng minh QR // ST.

Lời giải:

Kí hiệu như hình vẽ.

+) Ta có tứ giác \(ISTM\) nội tiếp đường tròn nên:

      \(\widehat{S_{1}}+ \widehat{M_1}=180^0\)

Mà \(\widehat{M_{1}}+ \widehat{M_{3}}= 180^0\) (2 góc kề bù) 

nên \(\widehat{S_{1}}= \widehat{M_{3}}\)(1)

+) Ta có tứ giác \(IMPN\) nội tiếp đường tròn nên:

      \(\widehat{M_{3}}+ \widehat{PNI}=180^0\)

Mà \(\widehat{N_{4}}+ \widehat{PNI}= 180^0\) (kề bù) 

nên \(\widehat{M_{3}}= \widehat{N_{4}}\)  (2)

+) Ta có tứ giác \(INQS\) nội tiếp đường tròn nên:

      \(\widehat{N_{4}}+ \widehat{IRQ}=180^0\)

Mà \(\widehat{R_{2}}+ \widehat{IRQ}= 180^0\) (kề bù) 

nên \(\widehat{N_{4}}= \widehat{R_{2}}\)  (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra \(\widehat{S_{1}}=  \widehat{R_{2}}\)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong         

Do đó \(QR // ST.\)

Sachbaitap.com