Bài 58, 59, 60, 61 trang 32, 33 SGK Toán 9 tập 1 - Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

Bài 58 trang 32 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Rút gọn các biểu thức sau:

a) \(5\sqrt{\dfrac{1}{5}}+\dfrac{1}{2}\sqrt{20}+\sqrt{5}\)

b) \(\sqrt{\dfrac{1}{2}}+\sqrt{4,5}+\sqrt{12,5};\)

c) \(\sqrt{20}-\sqrt{45}+3\sqrt{18}+\sqrt{72};\)

d) \(0,1.\sqrt{200}+2.\sqrt{0,08}+0,4.\sqrt{50}\)

Lời giải:

a) 

Cách 1: Ta có:

\(5\sqrt{\dfrac{1}{5}}+\dfrac{1}{2}\sqrt{20}+\sqrt{5}\)

\(\eqalign{
& = \sqrt {{5^2}.{1 \over 5}} + \sqrt {{{\left( {{1 \over 2}} \right)}^2}.20} + \sqrt 5 \cr 
& = \sqrt {25.{1 \over 5}} + \sqrt {{1 \over 4}.20} + \sqrt 5 \cr 
& = \sqrt {{{25} \over 5}} + \sqrt {{{20} \over 4}} + \sqrt 5 \cr 
& = \sqrt 5 + \sqrt 5 + \sqrt 5 \cr 
& = \left( {1 + 1 + 1} \right)\sqrt 5 = 3\sqrt 5 \cr} \)

Cách 2:

Ta có:

\(5\sqrt{\dfrac{1}{5}}+\dfrac{1}{2}\sqrt{20}+\sqrt{5}\)

= \(\sqrt 5 + \dfrac{1}{2}.2\sqrt{5}+\sqrt{5}\)

= \(\sqrt 5 + \sqrt 5 + \sqrt 5\)

=\(3. \sqrt 5\)

b) 

Ta có: 

\(\sqrt{\dfrac{1}{2}}+\sqrt{4,5}+\sqrt{12,5}\)

\(\eqalign{
& = \sqrt {{1 \over 2}} + \sqrt {{9 \over 2}} + \sqrt {{{25} \over 2}} \cr 
& = \sqrt {{1 \over 2}} + \sqrt {9.{1 \over 2}} + \sqrt {25.{1 \over 2}} \cr 
& = \sqrt {{1 \over 2}} + \sqrt {3^2.{1 \over 2}} + \sqrt {5^2.{1 \over 2}} \cr 
& = \sqrt {{1 \over 2}} + 3\sqrt {{1 \over 2}} + 5\sqrt {{1 \over 2}} \cr 
& = \left( {1 + 3 + 5} \right).\sqrt {{1 \over 2}} \cr 
& = 9\sqrt {{1 \over 2}} = 9{1 \over {\sqrt 2 }} \cr 
& = 9.{{\sqrt 2 } \over {\sqrt 2.\sqrt 2  }} = {{9\sqrt 2 } \over 2} \cr} \)

c) 

Ta có:

\(\eqalign{
& \sqrt {20} - \sqrt {45} + 3\sqrt {18} + \sqrt {72} \cr 
& = \sqrt {4.5} - \sqrt {9.5} + 3\sqrt {9.2} + \sqrt {36.2} \cr 
& = \sqrt {{2^2}.5} - \sqrt {{3^2}.5} + 3\sqrt {{3^2}.2} + \sqrt {{6^2}.2} \cr 
& = 2\sqrt 5 - 3\sqrt 5 + 3.3\sqrt 2 + 6\sqrt 2 \cr 
& = 2\sqrt 5 - 3\sqrt 5 + 9\sqrt 2 + 6\sqrt 2 \cr 
& = \left( {2\sqrt 5 - 3\sqrt 5 } \right) + \left( {9\sqrt 2 + 6\sqrt 2 } \right) \cr 
& = \left( {2 - 3} \right)\sqrt 5 + \left( {9 + 6} \right)\sqrt 2 \cr 
& = - \sqrt 5 + 15\sqrt 2 = 15\sqrt 2 - \sqrt 5 \cr} \)

d) 

Ta có:

\(\eqalign{
& 0,1\sqrt {200} + 2\sqrt {0,08} + 0,4.\sqrt {50} \cr 
& = 0,1\sqrt {100.2} + 2\sqrt {0,04.2} + 0,4\sqrt {25.2} \cr 
& = 0,1\sqrt {10^2.2} + 2\sqrt {0,2^2.2} + 0,4\sqrt {5^2.2} \cr 
& = 0,1.10\sqrt 2 + 2.0,2\sqrt 2 + 0,4.5\sqrt 2 \cr 
& = 1\sqrt 2 + 0,4\sqrt 2 + 2\sqrt 2 \cr 
& = \left( {1 + 0,4 + 2} \right)\sqrt 2 = 3,4\sqrt 2 \cr} \)  

Bài 59 trang 32 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Rút gọn các biểu thức sau (với \(a>0, b>0\)):

a) \(5\sqrt{a}-4b\sqrt{25a^{3}}+5a\sqrt{16ab^{2}}-2\sqrt{9a};\)

b) \(5a\sqrt{64ab^{3}}-\sqrt{3}\cdot \sqrt{12a^{3}b^{3}}+2ab\sqrt{9ab}-5b\sqrt{81a^{3}b}.\)

Lời giải: 

a) 

Ta có: 

\(5\sqrt{a}-4b\sqrt{25a^{3}}+5a\sqrt{16ab^{2}}-2\sqrt{9a}\)

\(=5\sqrt a - 4b\sqrt{5^2.a^2.a}+5a\sqrt{4^2.b^2.a}-2\sqrt{3^2.a}\)

\(=5\sqrt a - 4b\sqrt{(5a)^2.a}+5a\sqrt{(4b)^2.a}-2\sqrt{3^2.a}\)

\(=5\sqrt a - 4b.5a\sqrt{.a}+5a.4b\sqrt{a}-2.3\sqrt{a}\)

\(=5\sqrt{a}-20ab\sqrt{a}+20ab\sqrt{a}-6\sqrt{a}\)

\(=(5\sqrt{a}-6\sqrt{a})+(-20ab\sqrt{a}+20ab\sqrt{a})\)

\(=(5-6)\sqrt a=-\sqrt{a}\)

b) 

Ta có:

\(5a\sqrt{64ab^{3}}-\sqrt{3}.\sqrt{12a^{3}b^{3}}+2ab\sqrt{9ab}-5b\sqrt{81a^{3}b}\)

\(=5a\sqrt{(8b)^2.ab}-\sqrt{3}.\sqrt{(2ab)^2.3.ab}+2ab\sqrt{3^2.ab}\)\(\,-5b\sqrt{(9a)^2.ab}\)

\(=5a.8b\sqrt{ab}-\sqrt{3}.2\sqrt 3 ab\sqrt{ab}+2ab.3\sqrt{ab}\)\(\,-5b.9a\sqrt{ab}\)

\(=40ab\sqrt{ab}-2.3ab\sqrt{ab}+6ab\sqrt{ab}-45ab\sqrt{ab}\)

\(=40ab\sqrt{ab}-6ab\sqrt{ab}+6ab\sqrt{ab}-45ab\sqrt{ab}\)

\(=40ab\sqrt{ab}-45ab\sqrt{ab}\)

\(=(40-45)ab\sqrt{ab}\)

\(=-5ab\sqrt{ab}\). 

Bài 60 trang 33 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Cho biểu thức \(B= \sqrt{16x+16}-\sqrt{9x+9}+\sqrt{4x+4}+\sqrt{x+1}\) với \(x\geq -1\).

a) Rút gọn biểu thức \(B\); 

b) Tìm \(x\) sao cho \(B\) có giá trị là \(16\).

Lời giải: 

a) Ta có:

\(B= \sqrt{16x+16}-\sqrt{9x+9}+\sqrt{4x+4}+\sqrt{x+1}\)

\(= \sqrt{16(x+1)}-\sqrt{9(x+1)}+\sqrt{4(x+1)}+\sqrt{x+1}\)

\(= \sqrt{4^2(x+1)}-\sqrt{3^2(x+1)}+\sqrt{2^2(x+1)}+\sqrt{x+1}\)

\(= 4\sqrt{x+1}-3\sqrt{x+1}+2\sqrt{x+1}+\sqrt{x+1}\)

\(=(4-3+2+1)\sqrt{x+1}\) 

\(=4\sqrt{x+1}.\)

b) Ta có: 

\(B = 16 \Leftrightarrow 4\sqrt {x + 1}  = 16\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} = {{16} \over 4} \cr
& \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} = 4 \cr
& \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {x + 1} } \right)^2} = {4^2} \cr
& \Leftrightarrow x + 1 = 16 \cr
& \Leftrightarrow x = 16 - 1 \cr
& \Leftrightarrow x = 15(\text{thỏa mãn}\,x\ge -1) \cr} \)

Vậy với \(x=15\) thì \(B=16\).

Bài 61 trang 33 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Chứng minh các đẳng thức sau:

a) \(\dfrac{3}{2}\sqrt 6+ 2\sqrt{\dfrac{2}{3}}-4\sqrt{\dfrac{3}{2}}=\dfrac{\sqrt 6}{6}\)

b) \(\left( {x\sqrt {\dfrac{6}{x}}  + \sqrt {\dfrac{2x}{3}}  + \sqrt {6x} } \right):\sqrt {6x}=\dfrac{7}{3} \) với \(x > 0.\)

Lời giải: 

a) 

Biến đổi vế trái ta có:

\( VT = \dfrac{3}{2}\sqrt 6+ 2\sqrt{\dfrac{2}{3}}-4\sqrt{\dfrac{3}{2}}\)

          \(=3\dfrac{\sqrt 6}{2}+2\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt 3}-4\dfrac{\sqrt 3}{\sqrt 2}\)

          \(=3\dfrac{\sqrt 6}{2}+2\dfrac{\sqrt 2\sqrt 3}{\sqrt 3 .\sqrt 3}-4.\dfrac{\sqrt 3 .\sqrt 2}{\sqrt 2.\sqrt 2}\)

         \(=3\dfrac{\sqrt 6}{2}+2\dfrac{\sqrt 6}{3}-4\dfrac{\sqrt 6}{2}\)

         \(= (\dfrac{3}{2} +\dfrac{2}{3} - 2). \sqrt 6\)

         \(=\dfrac{\sqrt 6}{6}=VP\).

b) 

Biến đổi vế trái ta có: 

\(VT = \left( {x\sqrt {\dfrac{6}{x}}  + \sqrt {\dfrac{2x}{3}}  + \sqrt {6x} } \right):\sqrt {6x} \)

         \(\eqalign{
& = \left( {x\sqrt {{{6x} \over {{x^2}}}} + \sqrt {{{2x.3} \over {{3^2}}}} + \sqrt {6x} } \right):\sqrt {6x} \cr 
& = \left( {x{{\sqrt {6x} } \over {\sqrt {{x^2}} }} + {{\sqrt {6x} } \over {\sqrt {{3^2}} }} + \sqrt {6x} } \right):\sqrt {6x} \cr 
& = \left( {x{{\sqrt {6x} } \over x} + {{\sqrt {6x} } \over 3} + \sqrt {6x} } \right):\sqrt {6x} \cr 
& = \left( {1.\sqrt {6x} + {1 \over 3}\sqrt {6x} + \sqrt {6x} } \right):\sqrt {6x} \cr 
& = \left( {1 + {1 \over 3} + 1} \right)\sqrt {6x} :\sqrt {6x} \cr 
& = {7 \over 3}\sqrt {6x} :\sqrt {6x} \cr 
& = \dfrac{7}{3} =VP.\cr} \)

Cách 2:

\(VT = \left( {x\sqrt {\dfrac{6}{x}}  + \sqrt {\dfrac{2x}{3}}  + \sqrt {6x} } \right):\sqrt {6x} \)

= \(x\sqrt {\dfrac{6}{x}}: \sqrt {6x} + \sqrt {\dfrac{2x}{3}} : \sqrt {6x} + \sqrt {6x} : \sqrt {6x} \)

= \(x{\dfrac{\sqrt 6}{\sqrt x}}: (\sqrt 6 . \sqrt x)+ {\dfrac{\sqrt 2}{\sqrt 3}}. \sqrt x : (\sqrt 6 . \sqrt x) + \sqrt {6x} : \sqrt {6x} \)

= 1 + \(\frac{1}{3}\) + 1

= \(\dfrac{7}{3}\) =VP

Sachbaitap.com