Bài 6 trang 223 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh SA = a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Một mặt phẳng đi qua CD cất các cạnh SA, SB lần lượt tại M, N. Đặt AM = x.

a) Tứ giác MNCD là hình gì ? Tính diện tích tứ giác MNCD theo a, x.

b) Xác định giá trị của x  để thể tích của hình chóp S.MNCD bằng \({2 \over 9}\) lần thể tích hình chóp S.ABCD.

Giải

a) Do \(AB//CD,{\rm{ }}AB \subset \left( {SAB} \right),{\rm{ }}CD \subset \left( {MNCD} \right)\) nên hai mặt phẳng (SAB) và (MNCD) cắt nhau theo giao tuyến MN song song với AB và CD.

Mặt khác \(CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot DM.\)

Vậy MNCD là hình thang vuông.

Vì MN//AB nên ta có \({{MN} \over {AB}} = {{SM} \over {SA}}.\)

Vây \(MN = {{AB.SM} \over {SA}} = {{aSM} \over a} = SM = a - x.\)

\({S_{MNCD}} = {1 \over 2}\left( {MN{\rm{ }} + {\rm{ }}CD} \right).DM\)

\(\eqalign{  &  = {1 \over 2}\left( {a - {\rm{ }}x + a} \right)\sqrt {{a^2} + {x^2}}   \cr  &  = {1 \over 2}\left( {2a - {\rm{ }}x} \right)\sqrt {{a^2} + {x^2}} . \cr} \)

b) \({S_{ABCD}} = {1 \over 3}{S_{ABCD}}.SA = {1 \over 3}{a^3}\)

\(=  > {V_{S.ACD}}{\rm{ }} = {V_{S.ACB}} = {1 \over 6}{a^3}.\)

         \({V_{S.MNCD}} = {V_{S.MNC}} + {V_{S.MCD}}.\)

Mặt khác

\({{{V_{S.MCN}}} \over {{V_{S.ACB}}}} = {{SM} \over {SA}}.{{SC} \over {SC}}.{{SN} \over {SB}} = {\left( {{{a - x} \over a}} \right)^2}\)

\(\Rightarrow {{{V_{S.MCN}}} \over {{V_{S.ABCD}}}} = {1 \over 2}{\left( {{{a - x} \over a}} \right)^2}.\)

\({{{V_{S.MCD}}} \over {{V_{S.ACD}}}} = {{SM} \over {SA}}.{{SC} \over {SC}}.{{SD} \over {SD}}={{SM} \over {SA} }= {{a - x} \over a} \)

\(\Rightarrow {{{V_{S.MCD}}} \over {{V_{S.ABCD}}}} = {{a - x} \over {2a}}.\)

\({{{V_{S.MNCD}}} \over {{V_{S.ABCD}}}} = {{{V_{S.MCN}} + {V_{S.MCD}}} \over {{V_{S.ABCD}}}} = {{{V_{S.MCN}}} \over {{V_{S.ABCD}}}} + {{{V_{S.MCD}}} \over {{V_{S.ABCD}}}} \)

\( = {1 \over 2}{\left( {{{a - x} \over a}} \right)^2} + {{a - x} \over {2a}}.\)

Từ đó ta có \({{{V_{S.MNCD}}} \over {{V_{S.ABCD}}}} = {2 \over 9} \Leftrightarrow {\rm{ }}9{x^2} - {\rm{ }}27ax + 14{a^2} = {\rm{ }}0\)

 \(\Leftrightarrow \left[ \matrix{  x = {7 \over 3}a\text{ ( loại vì theo giả thiết x < a)}\hfill \cr  x = {2 \over 3}a \hfill \cr}  \right.\)   

Sachbaitap.com