Bài 64 trang 132 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Trong không gian tọa độ Oxyz cho bốn đường thẳng :

\(\eqalign{  & {d_1}:{{x - 1} \over 1} = {{y - 2} \over 2} = {z \over { - 2}},\cr&{d_2}:{{x - 2} \over 2} = {{y - 2} \over 4} = {z \over { - 4}}.  \cr  & {d_3}:{x \over 2} = {y \over 1} = {{z - 1} \over 1},{d_4}:{{x - 2} \over 2} = {y \over 2} = {{z - 1} \over { - 1}}. \cr} \)

a) Chứng minh hai đường thẳng d₁ và d₂ cùng nằm trên một mặt phẳng. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng đó.

b) Chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng d cắt cả bốn đường thẳng đã cho. Hãy viết phương trình chính tắc của đường thẳng d.

Giải

a) Đường thẳng d₁ đi qua điểm M₁ ( 1 ; 2; 0) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} \)(1 ; 2; -2). Đường thẳng d₂ đi qua điểm M₂(2 ; 2 ; 0) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} \) (2 ; 4 ; -4). Rõ ràng \(\overrightarrow {{u_2}} \)= 2\(\overrightarrow {{u_1}} \) nên d₁, d₂ cùng nằm trên một mặt phẳng, ta gọi là mp(\(\alpha \))

Ta có vectơ pháp tuyến của mp(\(\alpha \)) là

\(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_2}} } \right]= (0 ; -2 ; -2)\).

Vậy phương trình mặt phẳng (\(\alpha \)) là:

\(0(x - 1) - 2(y - 2) - 2(z - 0) = 0\) 

 (\(\alpha ): y + z - 2 = 0.\)

b) Gọi A là giao điểm của đường thẳng d₃ và mp(\(\alpha \)). Toạ độ của A thoả mãn hệ

\(\left\{ \matrix{  x = 2t \hfill \cr  y = t \hfill \cr  z = 1 + t \hfill \cr  y + z - 2 = 0 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow t = {1 \over 2}\)

Suy ra A= \(\left( {1;{1 \over 2};{3 \over 2}} \right)\) 

Gọi B là giao điểm của đường thẳng d₄ và mp(\(\alpha \)). Tương tự như trên, ta có B = (4 ; 2 ; 0).

Đường thẳng AB nằm trong (\(\alpha \)) cắt cả d₃ và d₄.

Mặt khác \(\overrightarrow {AB} \) =\(\left( {3;{3 \over 2}; - {3 \over 2}} \right)\) không cùng phương với \(\overrightarrow {{u_1}} \)(1 ; 2 ; -2). Do đó AB cắt cả d_] và d₂. Vậy AB chính là đường thẳng d cần tìm.

            \(d:{{x - 4} \over 2} = {{y - 2} \over 1} = {z \over { - 1}}\)

Sachbaitap.com