Bài 77 trang 115 SBT Hình học 10 Nâng cao

Cho hypebol \((H):  \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} -  \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\). Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm tùy ý trên \((H)\) đến hai đường tiệm cận bằng \( \dfrac{{{a^2}{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}\).

Giải

\((H)\) có hai tiệm cận là \({\Delta _1}: y =  \dfrac{b}{a}x\) hay \(bx - ay = 0\);  \({\Delta _2}: y =  -  \dfrac{b}{a}x\) hay \(bx + ay = 0\).

Xét \(M(x ; y)  \in (H)\) thì \( \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} -  \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), hay \({b^2}{x^2} - {a^2}{y^2} = {a^2}{b^2}\). Khi đó

\(d(M ; {\Delta _1}).d(M ; {\Delta _2}) \)

\(=  \dfrac{{|bx - ay|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}. \dfrac{{|bx + ay|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

\(=  \dfrac{{|{b^2}{x^2} - {a^2}{y^2}|}}{{{a^2} + {b^2}}} \)

\(=  \dfrac{{{a^2}{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}\).

Sachbaitap.com