Bài 88, 89, 90, 91, 92, 93 trang 103, 104 SGK Toán 9 tập 2 - Ôn tập chương III Góc với đường tròn

Bài 88 trang 103 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:

Hãy nêu tên mỗi góc trong các hình dưới đây:

(Ví dụ. góc trên hình 66b) là góc nội tiếp).

Lời giải:   

a) Góc ở tâm.

b) Góc nội tiếp.

c) Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung.

d) Góc có đỉnh bên trong đường tròn.

e) Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn.

Bài 89 trang 104 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:

Trong hình 67, cung \(AmB\) có số đo là \(60^0\). Hãy:  

a) Vẽ góc ở tâm chắn cung \(AmB\). Tính góc \(AOB\).

b) Vẽ góc nội tiếp đỉnh \(C\) chắn cung \(AmB\). Tính góc \(ACB\).

c) Vẽ góc tạo bởi tia tiếp tuyến \(Bt\) và dây cung \(BA\). Tính góc \(ABt\). 

d) Vẽ góc \(ADB\) có đỉnh \(D\) ở bên trong đường tròn. So sánh \(\widehat {A{\rm{D}}B}\)  với \(\widehat {ACB}\) .

e) Vẽ góc \(AEB\) có đỉnh \(E\) ở bên ngoài đường tròn (\(E\) và \(C\) cùng phía đối với \(AB\)). So sánh \(\widehat {A{\rm{E}}B}\) với \(\widehat {ACB}\) 

Lời giải:

a) Từ \(O\) nối với hai đầu mút của cung \(AB\)

Ta có \(\widehat {AOB}\) là góc ở tâm chắn cung \(AB\)

Vì \(\widehat {AOB}\) là góc ở tâm chắn cung \(AB\) nên

\(\widehat {AOB}\) =\(sđ\overparen{AmB}=60^0\)

b) Lấy một điểm \(C\) bất kì trên \((O)\). Nối \(C\) với hai đầu mút của cung \(AmB\). Ta được góc nội tiếp \(\widehat {ACB}\)

Khi đó: \(\displaystyle \widehat {ACB} = {1 \over 2}sđ\overparen{AmB}={1 \over 2}{60^0} = 30^0\)  

c) Vẽ bán kính \(OB\). Qua \(B\) vẽ \(Bt\bot OB\). Ta được góc \(ABt\) là góc tạo bởi tia tiếp tuyến \(Bt\) với dây cung \(BA\).

Ta có: \(\displaystyle \widehat {ABt} = {1 \over 2}sđ\overparen{AmB} = {30^0}\) 

d) Lấy điểm \(D\) bất kì ở bên trong đường tròn \((O)\). Nối \(D\) với \(A\) và \(D\) với \(B\), ta được góc \(ADB\) là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn \((O)\)

Đường thẳng AD cắt đường tròn tại điểm thứ hai là K, DB cắt đường tròn tại điểm thứ hai là C.

Ta có:  

\(\eqalign{
& \widehat {ACB} = {1 \over 2}sđ\overparen{AmB}\cr 
& \widehat {A{\rm{D}}B} = {1 \over 2}\left( sđ\overparen{AmB}+ sđ\overparen{CK} \right) \cr} \)

Mà \(sđ\overparen{AmB}+sđ\overparen{CK}>sđ\overparen{AmB}\)(do \(sđ\overparen{CK}>0\)) nên \(\widehat {A{\rm{D}}B} > \widehat {ACB}\)  

e) Lấy điểm \(E\) bất kì ở bên ngoài đường tròn, nối \(E\) với \(A\) và \(E\) với \(B\), chúng cắt đường tròn lần lượt tại \(J\) và \(I\).

Ta có góc \(AEB\) là góc ở bên ngoài đường tròn \((O)\)

Có:

\(\eqalign{
& \widehat {ACB} = {1 \over 2}sđ\overparen{AmB} \cr 
& \widehat {A{\rm{E}}B} = {1 \over 2}\left( sđ\overparen{AmB} - sđ\overparen{IJ} \right) \cr}\)

Mà \(sđ\overparen{AmB}\)– \(sđ \overparen{IJ}< sđ\overparen{AmB}\) (do \(sđ\overparen{IJ}> 0\))

Nên \(\widehat {A{\rm{E}}B} < \widehat {ACB}\). 

Bài 90 trang 104 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:

a) Vẽ hình vuông cạnh \(4cm\).

b) Vẽ đường tròn ngoại tiếp hình vuông đó. Tính bán kính \(R\) của đường tròn này.

c) Vẽ đường tròn nội tiếp hình vuông đó. Tính bán kính \(r\) của đường tròn này. 

Lời giải:

a) Dùng êke ta vẽ hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng \(4cm\) như sau:

- Vẽ \(AB = 4cm\).

- Vẽ \(BC \bot AB\) và \(BC = 4cm\)

- Vẽ \(DC\bot BC\) và \(DC = 4cm\)

- Nối \(D\) với \(A\), ta có \(AD\bot DC\) và \(AD = 4cm\)

b) Ta có ABCD là hình vuông. Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD khi đó ta có: \(OA = OB = OC = OD.\) Nên \(O\) chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp hình vuông.

Tam giác \(ABC\) là tam giác vuông cân nên \(AB = BC\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(ABC\), ta có: 

\(\eqalign{
& A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = 2{\rm{A}}{B^2} \Leftrightarrow A{C^2} = {2.4^2} = 32 \cr
& \Rightarrow AC = \sqrt {32} = 4\sqrt 2 \cr}\)

Vậy \(\displaystyle AO = R = {{AC} \over 2} = {{4\sqrt 2 } \over 2} = 2\sqrt 2 \) 

Vậy \(R  = 2\sqrt{2}\) \(cm\)

c) Vẽ \(OH \bot DC\).Tương tự ta kẻ từ O các đường vuông góc đến các cạnh AD, AB, BC. Khi đó ta có

Đường tròn tâm \(O\), bán kính \(OH\). Đó là đường tròn nội tiếp hình vuông \(ABCD\)

Ta có: \(\displaystyle OH = {{A{\rm{D}}} \over 2} = 2(cm)\)  

Vậy \(r = OH = 2cm\)

Bài 91 trang 104 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:

Trong hình 68, đường tròn tâm O có bán kính \(R = 2cm\), góc \(AOB = 75^0\).

a) Tính số đo cung \(ApB\).

b) Tính độ dài hai cung \(AqB\) và \(ApB\).

c) Tính diện tích hình quạt tròn \(OAqB\) 

Lời giải:

a) Ta có \(\widehat {AOB}\) là góc ở tâm chắn cung \(AqB\) nên:

\(\widehat {AOB}\) = \(sđ\overparen{AqB}\) hay \(sđ\overparen{AqB}=75^0\)

Vậy \(sđ\overparen{ApB}\) \(=360°- \overparen{AqB}\) \(=360^0 - 75^0 = 285^0\)

b) \({l_{\overparen{AqB}}}\) là độ dài cung \(AqB\), ta có:

\(\displaystyle {l_{\overparen{AqB}}}\) \(=\displaystyle {{\pi Rn} \over {180}} = {{\pi .2.75} \over {180}} = {5 \over 6}\pi (cm)\) 

Gọi \({l_{\overparen{ApB}}}\) là độ dài cung \(ApB\) ta có:

\(\displaystyle {l_{\overparen{ApB}}}= {{\pi Rn} \over {180}} = {{\pi .2.285} \over {180}} = {{19\pi } \over 6}(cm)\)

c) Diện tích hình quạt tròn \(OAqB\) là:  \(\displaystyle {S_{OAqB}} = {{\pi {R^2}n} \over {360}} = {{\pi {2^2}.75} \over {360}} = {{5\pi } \over 6}(c{m^2})\)

Bài 92 trang 104 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:

Hãy tính diện tích miền gạch sọc trong các hình 69, 70, 71 (đơn vị độ dài: cm).

Lời giải: 

a) Hình 69

Diện tích hình tròn bán kính \(R= 1,5\) là: \({S_1} = πR^2 = π. 1,5^2 = 2,25π\)

Diện tích hình tròn bán kính \(r = 1\) là: \({S_2} = πr^2= π. 1^2 = π\)

Vậy diện tích miền gạch sọc là: 

\(S = {S_1} – {S_2} = 2,25 π – π = 1,25 π\) (đvdt)

b) Hình 70

Diện tích hình quạt có bán kính \(R = 1,5\); \(n^0 = 80^0\)

\(\displaystyle {S_1} = {{\pi {R^2}n} \over {360}} = {{\pi 1,{5^2}.80} \over {360}} = {\pi  \over 2}\) 

Diện tích hình quạt có bán kính \(r = 1\); \(n^0 = 80^0\)

\(\displaystyle {S_2} = {{\pi {r^2}n} \over {360}} = {{\pi {{.1}^2}.80} \over {360}} = {{2\pi } \over 9}\)

Vậy diện tích miền gạch sọc là: \(\displaystyle S = {S_1} - {S_2} = {\pi  \over 2} - {{2\pi } \over 9} = {{9\pi  - 4\pi } \over {18}} = {{5\pi } \over {18}}\)

c) Hình 71

Diện tích hình vuông cạnh \(a = 3\) là:

\({S_1} = a^2 = 3^2 =9\)

Diện tích phần không gạch sọc bằng diện tích 4 quạt tròn bán kính \(R=1,5cm \) và có số đo cung là \(90^0\).

Hay tổng diện tích 4 quạt này bằng diện tích hình tròn bán kính \(R=1,5cm.\)

Diện tích hình tròn có \(R = 1,5\) là:

\({S_2} = πR^2 = π.1,5^2 = 2,25π = 7,06\)

Vậy diện tích miền gạch sọc là:

\(S = {S_1} – {S_2} = 9 – 7,06 = 1,94\) \((cm^2).\)

Bài 93 trang 104 SGK Toán lớp 9 tập 2

Câu hỏi:

Có ba bánh xe răng cưa \(A, B, C\) cùng chuyển động ăn khớp với nhau. Khi một bánh xe quay thì hai bánh xe còn lại cũng quay theo. Bánh xe \(A\) có \(60\) răng, bánh xe B có \(40\) răng, bánh xe \(C\) có \(20\) răng. Biết bán kính bánh xe \(C\) là \(1\)cm. Hỏi:

a) Khi bánh xe \(C\) quay \(60\) vòng thì bánh xe \(B\) quay mấy vòng?

b) Khi bánh xe \(A\) quay \(80\) vòng thì bánh xe \(B\) quay mấy vòng?

c) Bán kính của các bánh xe \(A\) và \(B\) là bao nhiêu?  

Phương pháp: 

Công thức tính chu vi của đường tròn bán kính R là: \(C = 2\pi R\)

Lời giải: 

Ta có bánh xe \(A\) có \(60\) răng, bánh xe \(B\) có \(40\) răng, bánh xe \(C\) có \(20\) răng nên suy ra chu vi của bánh xe \(B\) gấp đôi chu vi bánh xe \(C\), chu vi bánh xe \(A\) gấp ba chu vi bánh xe \(C\).

Chu vi bánh xe \(C\) là: \(C_1=2 \pi R=2. 3,14 . 1 = 6,28 (cm)\)

Chu vi bánh xe \(B\) là: \(C_2=2C_1=6,28 . 2 = 12,56 (cm)\)

Chu vi bánh xe \(A\) là: \(C_3=3C_1=6,28 . 3 = 18,84 (cm)\)

a) Khi bánh xe \(C\) quay được \(60\) vòng thì quãng đường đi được là:

\(60 . 6,28 = 376,8 (cm)\)

Khi đó số vòng quay của bánh xe \(B\) là:

\(376,8 : 12,56 = 30\) (vòng)

b) Khi bánh xe \(A\) quay được \(80\) vòng thì quãng đường đi được là:

\(80 . 18,84 = 1507,2\) (cm)

Khi đó số vòng quay của bánh xe \(B\) là:

\(1507,2 : 12,56 = 120\) (vòng)

c) Bán kính bánh xe \(B\) là: \(12,56 : (2π) = 12,56 : 6,28 = 2(cm)\) 

Bán kính bánh xe \(A\) là: \(18,84 : (2π) = 18,84 : 6,28 = 3(cm)\)

Sachbaitap.com