Câu 1.24 trang 11 SBT Đại số 10 Nâng cao

Hãy phát biểu và chứng minh định lí đảo của định lí sau (nếu có) rồi sử dụng thuật ngữ điều kiện “cần và đủ” để phát biểu gộp cả hai định lí thuận và đảo :

Nếu \(m, n\) là hai số nguyên dương và mỗi số đều chia hết cho 3 thì tổng \({m^2} + {n^2}\)  cũng chia hết cho 3.

Giải:

Định lí đảo : “Nếu m, n là hai nguyên dương và \({m^2} + {n^2}\)  chia hết cho 3 thì cả m và n đều chia hết cho 3”.

Chứng minh. Nếu một số không chia hết cho 3 và số kia chia hết cho 3 thì rõ ràng tổng bình phương hai số đó không chia hết cho 3. Giả sử m và n đều không chia hết cho 3. Nếu \(m = 3k + 1\) hoặc \(m = 3k + 2\) ta đều có \({m^2}\)  chia 3 dư 1. Thành thử \({m^2} + {n^2}\)  chia 3 dư 2. Vậy nếu \({m^2} + {n^2}\)  chia hết cho 3 thì chỉ có thể xảy ra khả năng cả m và n đều chia hết cho 3.

Vậy : Điều kiện cần và đủ để \({m^2} + {n^2}\)  chia hết cho 3 \(\left( {m,n \in {N^*}} \right)\) là cả m và n đều chia hết cho 3.

Sachbaitap.com