Câu 1.48 trang 20 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

a) Tìm cực đại các hệ số m, n, p  sao cho hàm số

                    \(f(x) =  - {1 \over 3}{x^3} + m{x^2} + nx + p\)

Đạt cực đại tại điểm x = 3 và đồ thị (C) của nó tiếp xúc với đường thẳng \(y = 3x - {1 \over 3}\) tại giao điểm của (C) với trục tung                                                   

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với các giá trị vừa tìm được của m, n, p 

Giải

a) Đường thẳng \(y = 3x - {1 \over 3}\) cắt trục tung tại điểm \(A\left( {0; - {1 \over 3}} \right)\)

Vì đồ thị (C) của hàm số đã cho đi qua điểm A nên \(f(0) = p =  - {1 \over 3}\)

Ta có \(f'(x) =  - {x^2} + 2mx + n\) . Vì (C) tiếp xúc với đường thẳng \(y = 3x - {1 \over 3}\) tại điểm A nên \(f'(0) = n = 3\)

Do hàm số đạt cực đại tại điểm x = 3 nên

                      \(f'(3) =  - 9 + 6m + 3 = 0 \Leftrightarrow m = 1\)

Với các giá trị m, n, p vừa tìm được, ta có hàm số

                      \(f(x) =  - {1 \over 3}{x^3} + {x^2} + 3x + {1 \over 3}\)

Khi đó, \(f''(x) =  - 2x + 2\) và \(f''(3) =  - 4 < 0\). Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 3.

Sachbaitap.com