Câu 1.86 trang 28 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

a) Chứng minh rằng hàm số  \(y = {x \over {x + 1}}\) đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó

b) Từ đó suy ra rằng

             \({{\left| {a + b} \right|} \over {1 + \left| {a + b} \right|}} \le {{\left| a \right|} \over {1 + \left| a \right|}} + {{\left| b \right|} \over {1 + \left| b \right|}}\) , với mọi \(a,b \in R\)

Giải

a) TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash {\rm{\{ }} - 1\} \)

\(y' = {1 \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0\,\,\forall x \in D\)

Do đó  hàm số  \(y = {x \over {x + 1}}\) đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó

b) Vì \(\left| {a + b} \right| \le \left| a \right| + \left| b \right|\) với mọi \(a,b \in R\)  nên từ a) suy ra

           \(f\left( {\left| {a + b} \right|} \right) \le f\left( {\left| a \right| + \left| b \right|} \right)\)

Hay

\({{\left| {a + b} \right|} \over {1 + \left| {a + b} \right|}} \le {{\left| a \right|+|b|} \over {1 + \left| a \right|}+|b|}= {{\left| a \right|} \over {1 + \left| a \right| + \left| b \right|}} + {{\left| b \right|} \over {1 + \left| a \right| + \left| b \right|}} \)

              \(\le {{\left| a \right|} \over {1 + \left| a \right|}} + {{\left| b \right|} \over {1 + \left| b \right|}}\)

Sachbaitap.com