Câu 20 trang 7 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Tìm giá trị lớn nhất của các đa thức:

a. \(A = 4x - {x^2} + 3\)

b. \(B = x - {x^2}\)

c. \(N = 2x - 2{x^2} - 5\)

Giải:

a. \(A = 4x - {x^2} + 3 = 7 - {x^2} + 4x - 4 = 7 - \left( {{x^2} - 4x + 4} \right) = 7 - {\left( {x - 2} \right)^2}\)

Ta có: \({\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0\)  

Suy ra: \(A = 7 - {\left( {x - 2} \right)^2} \le 7\)

Vậy giá trị của A lớn nhất là 7 tại \(x = 2\)

b. \(B = x - {x^2})\\( = {1 \over 4} - {x^2} + x - {1 \over 4} = {1 \over 4} - \left( {{x^2} - 2.x.{1 \over 2} + {1 \over 4}} \right) = {1 \over 4} - {\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2}\)

Vì \({\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} \ge 0\) . Suy ra: \(B = {1 \over 4} - {\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} \le {1 \over 4}\)

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức B là \({1 \over 4}\) tại \(x = {1 \over 2}\)

c. \(N = 2x - 2{x^2} – 5\) \( =  - 2\left( {{x^2} - x + {5 \over 2}} \right) =  - 2\left( {{x^2} - 2.x.{1 \over 2} + {1 \over 4} + {9 \over 4}} \right)\)

   \( =  - 2\left[ {{{\left( {x - {1 \over 2}} \right)}^2} + {9 \over 4}} \right] =  - 2{\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} - {9 \over 2}\)

Vì\({\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} \ge 0\)  nên\( - 2{\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} \le 0\)

Suy ra: \(N =  - 2{\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} - {9 \over 2} \le  - {9 \over 2}\)

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức N là \( - {9 \over 2}\)  tại \(x = {1 \over 2}\)