Câu 2.138 trang 93 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Giải các bất phương trình sau:

a) \(\left| {{{\log }_4}x - 3} \right| < 1\)

b) \({\log _2}x + {\log _3}x < 1 + {\log _2}x{\log _3}x\)

c) \({15^{2x + 3}} > {5^{3x + 1}}{.3^{x + 5}}\)

d) \({{{{\log }^2_{a}}x.{{\log }_a}x + 2} \over {{{\log }_a}x - 2}} > 1\) với a > 0 và \(a \ne 1\)

Giải

a)

Cách 1. \(\left| {{{\log }_4}x - 3} \right| < 1 \Leftrightarrow {({\log _4}x - 3)^2} < 1\)

\(\Leftrightarrow \log _4^2x - 6{\log _4}x + 8 < 0\)

\( \Leftrightarrow 2 < {\log _4}x < 4 \Leftrightarrow 16 < x < 256\).

Cách  2.\(\left| {{{\log }_4}x - 3} \right| < 1 \Leftrightarrow  - 1 < {\log _4}x - 3 < 1\)

\(\Leftrightarrow 2<{\log _4}x < 4\)

\( \Leftrightarrow 16 < x < 256\).

b) 

 Biến đổi bất phương trình về dạng

                                \(({\log _2}x - 1)(1 - {\log _3}x) < 0\)

Xảy ra hai trường hợp

\( \bullet \left\{ \matrix{{\log _2}x - 1 > 0 \hfill \cr1 - {\log _3}x < 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x > 2 \hfill \cr x > 3 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow x > 3\)

\( \bullet \left\{ \matrix{ {\log _2}x - 1 < 0 \hfill \cr1 - {\log _3}x > 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{0 < x < 2 \hfill \cr0 < x < 3 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow 0 < x < 2\)

c) Chia cả hai vế của bất phương trình cho \({15^{2x + 3}}\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {\left( {{5 \over 3}} \right)^x} < {{25} \over 9} \cr
& \Leftrightarrow {\left( {{5 \over 3}} \right)^x} < {\left( {{5 \over 3}} \right)^2} \cr
& \Leftrightarrow x < 2 \cr} \)

d) Đặt \({\log _a}x = t\) (với \(t \ne 2\)), ta có \({{{t^2} + t + 2} \over {t - 2}} > 1 \Leftrightarrow t > 2\), tức là \({\log _a}x > 2\). Sau đó xét hai khả năng \(a > 1,0 < a < 1\)

Kết luận: 

Với a > 1 thì \(x > {a^2}\)

Với 0 < a < 1 thì  0 < x <\({a^2}\)

Sachbaitap.com