Câu 25 trang 169 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi V₁, V₂, V₃ theo thứ tự là thể tích của những hình sinh ra khi quay tam giác ABC một vòng xung quanh các cạnh BC, AB và AC. Chứng minh rằng:

$${1 \over {V_1^2}} = {1 \over {V_2^2}} =  + {1 \over {V_3^2}}.$$

Giải

∆ABC có \(\widehat A = 90^\circ \), đặt: AB = c, AC = b, BC = a, AH = h; AH là đường cao kẻ từ đỉnh A đến cạnh huyền BC. Ta có: \(h = {{bc} \over a}\)

Khi quay tam giác vuông ABC quanh cạnh huyền BC một vòng thì cạnh AB và AC vạch nên hai hình nón có chung đáy có bán kính đáy bằng đường cao AH và tổng chiều cao 2 hình nón bằng cạnh huyền BC có thể tích:

\({V_1} = {1 \over 3}\pi .A{H^2} + HB + {1 \over 3}\pi .A{H^2}.HC\)

\( = {1 \over 3}A{H^2}.BC = {1 \over 3}\pi {\left( {{{bc} \over a}} \right)^2}.a = {{\pi {b^2}{c^2}} \over {3a}})\)

\(\Rightarrow {1 \over {V_1^2}} = {1 \over {{{\left( {{{\pi {b^2}{c^2}} \over {3a}}} \right)}^2}}} = {{9{a^2}} \over {{\pi ^2}{b^4}{c^4}}}\)           (1)

Khi quay ∆ABC quanh cạnh AB một vong ta thu được hình nón có chiều cao AB = c, bán kính đáy AC = b có thể tích:

\({V_2} = {1 \over 3}\pi .A{C^2}.AB = {1 \over 3}\pi {b^2}c\)

\({1 \over {V_2^2}} = {1 \over {\left( {{{\pi {b^2}c} \over 3}} \right)}} = {9 \over {{\pi ^2}{b^4}{c^2}}}\)

Khi quay ∆ABC quanh cạnh AC một vòng ta thu được hình nón có chiều cao AC = b, bán kính đáy AB = c có thể tích:

\({V_3} = {1 \over 3}{\rm{A}}{{\rm{B}}^2}.AC = {1 \over 3}\pi {c^2}b\)

\({1 \over {V_3^2}} = {1 \over {\left( {{{\pi b{c^2}} \over 3}} \right)}} = {9 \over {{\pi ^2}{b^2}{c^4}}}\)

\({1 \over {V_2^2}} + {1 \over {V_3^2}} = {9 \over {{\pi ^2}{b^4}{c^2}}} + {9 \over {{\pi ^2}{b^2}{c^4}}} = {{9({b^2} + {c^2})} \over {{\pi ^2}{b^4}{c^4}}}\)

Vì ∆ABC vuông tại A nên \({b^2} + {c^2} = {a^2} \Rightarrow {1 \over {V_2^2}} + {1 \over {V_3^2}} = {{9{a^2}} \over {{\pi ^2}{b^4}{c^4}}}\)            (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \({1 \over {V_1^2}} = {1 \over {V_2^2}} + {1 \over {V_3^2}}\)

Sachbaitap.com