Câu 3.22 trang 144 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) \(\int {{x^3}\sin } xdx\)                 b) \(\int {\sin } \left( {\ln x} \right)dx\)        

Giải

a) Đặt \(u = {x^3},v =  - c{\rm{os}}x\)                 

Ta có \(\int {{x^3}\sin } xdx =  - {x^3}{\rm{cos}}x + 3\int {{x^2}{\rm{cos}}x} dx\).

Tiếp tục tính \(\int {{x^2}{\rm{cos}}} xdx\) bằng cách lấy nguyên hàm từng phần.

 \(\int {{x^3}\sin } xdx\)

\(= - {x^3}{\rm{cos}}x + 3{x^2}\sin x + 6x\cos x - 6\sin x + C\)

b) \({{x\sin \left( {\ln x} \right) - x\cos \left( {\ln x} \right)} \over 2} + C\)

Biến đổi \(u = \ln x\) . Khi đó \(\sin \left( {\ln x} \right)dx = {e^u}\sin udu\). Ta có

\(\int {\sin } \left( {\ln x} \right)dx = \int {e^u}\sin udu\)

\(= {1 \over 2}{e^u}\left( {\sin u - c{\rm{os}}u} \right)  + C\)

\( = {{x\sin \left( {\ln x} \right) - x\cos \left( {\ln x} \right)} \over 2} + C\)

Sachbaitap.com