Câu 3.65 trang 69 SBT Đại số 10 Nâng cao

Giải các hệ phương trình sau :

a. \(\left\{ \matrix{2{x^2} - xy + 3{y^2} = 7x + 12y - 1 \hfill \cr x - y + 1 = 0 \hfill \cr} \right.\)

b. \(\left\{ \matrix{\left( {2x + 3y - 2} \right)\left( {x - 5y - 3} \right) = 0 \hfill \cr x - 3y = 1 \hfill \cr} \right.\)

c. \(\left\{ \matrix{{x^2} + {y^2} + 2x\left( {y - 3} \right) + 2y\left( {x - 3} \right) + 9 = 0 \hfill \cr 2\left( {x + y} \right) - xy + 6 = 0 \hfill \cr} \right.\)

d. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 2{y^2} = 7x}\\{{y^2} - 2{x^2} = 7y}\end{array}} \right.\)

Giải:

a. Từ phương trình thứ hai trong hệ ta rút y = x + 1 rồi thế vào phương trình thứ nhất và thu gọn thì được phương trình bậc hai \(2x^2 - 7x - 4 = 0.\)

Phương trình này cho ta hai nghiệm \(x =  - \dfrac{1}{2}\) và \(x = 4.\) Tương tự ta được hai nghiệm của hệ phương trình đã cho là \(\left( { - \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right)\) và \(\left( {4;5} \right).\)

b. Ta có \((2x + 3y – 2)(x – 5y – 3) = 0\)\( ⇔ 2x + 3y = 2\) hoặc \(x – 5y = 3\). Do đó, hệ phương trình đã cho tương đương với

\(\left( I \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2{\rm{x}} + 3y = 2}\\{x - 3y = 1}\end{array}} \right.\)

hoặc \(\left( {II} \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 5y = 3}\\{x - 3y = 1}\end{array}} \right.\)

Hai hệ này cho ta hai nghiệm của hệ phương trình đã cho là (1 ; 0) và (-2 ; -1)

c. Đây là hệ phương trình đối xứng đối với hai ẩn. Do đó ta giải bằng cách đặt \(u = x + y\) và \(v = xy\). Khi đó ta thu được hệ phương trình ẩn u và v

\(\left( {III} \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u^2} - 6u + 2v + 9 = 0}\\{2u - v + 6 = 0}\end{array}} \right.\)

Ta giải hệ phương trình (III) bằng phương pháp thế ; kết quả là hệ này vô nghiệm nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

d. Trừ từng vế hai phương trình của hệ ta được \(3( x^2 - y^2) = 7(x-y)\)

Phương trình này tương đương với

\(\left( {IV} \right)\left\{ {\matrix{{{x^2} - 2{y^2} = 7x} \cr {x - y = 0} \cr} } \right.\) hoặc \(\,\left( V \right)\left\{ {\matrix{{{x^2} - 2{y^2} = 7x} \cr {3x + 3y - 7 = 0} \cr} } \right.\)

Hệ (IV) có hai nghiệm (0 ; 0) và (-7 ; -7) ; hệ (V) vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm (0 ; 0) và (-7 ; -7).

Sachbaitap.com