Câu 3.78 trang 99 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho dãy số \(({u_n})\) xác định bởi

        \({u_1} = {1 \over 3}\) và \({u_{n + 1}} = {{n + 1} \over {3n}}{u_n}\) với mọi \(n \ge 1.\)

a) Chứng minh dãy số \(({v_n}),\) mà \({v_n} = {{{u_n}} \over n}\) với mọi \(n \ge 1,\) là một cấp số nhân. Hãy xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân đó.

b) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số \(({u_n})\).

c) Tính tổng \(S = {u_1} + {{{u_2}} \over 2} + {{{u_3}} \over 3} + .... + {{{u_{11}}} \over {11}}.\)

Giải

a) Từ hệ thức xác định dãy số \(({u_n})\) suy ra với mọi \(\forall n \ge 1\)

            \({{{u_{n + 1}}} \over {n + 1}} = {1 \over 3} \times {{{u_n}} \over n},\,\,hay\,\,{v_{n + 1}} = {1 \over 3} \times {v_n}\)

Do đó, dãy số \(({v_n})\) là một cấp số nhân với số hạng đầu \({v_1} = {u_1} = {1 \over 3}\) và công bội bằng \({1 \over 3}\)

b) Ta có \({v_n} = {1 \over 3} \times {1 \over {{3^{n - 1}}}} = {1 \over {{3^n}}}\) với mọi \(n \ge 1,\) Suy ra \({u_n} = {n \over {{3^n}}}\) với mọi \(n \ge 1.\)

c) Ta có \(S = {u_1} + {{{u_2}} \over 2} + {{{u_3}} \over 3} + .... + {{{u_{11}}} \over {11}}.\)

\(\eqalign{
& = {v_1} + {v_2} + {v_3} + .... + {v_{11}} \cr
& = {1 \over 3} \times {{1 - {1 \over {{3^{11}}}}} \over {1 - {1 \over 3}}} = {{{3^{11}} - 1} \over {{{2.3}^{11}}}} = {{88573} \over {177147}} \cr} \)

Sachbaitap.com