Câu 4.38 trang 108 SBT Đại số 10 Nâng cao

Bạn Nam đã giải bất phương trình

\(\sqrt {{{\rm{x}}^2} - 1}  - \sqrt {{\rm{x}} + 1}  \ge x + 1\)                  (1)

Như sau :

Điều kiện :

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 1 \ge 0}\\{x + 1 \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {{\rm{x}} - 1} \right)\left( {{\rm{x}} + 1} \right) \ge 0}\\{x + 1 \ge 0}\end{array}} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 1 \ge 0}\\{x + 1 \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow {\rm{x}} \ge 1.\)

Khi đó bất phương trình (1) có dạng

\(\sqrt {\left( {{\rm{x}} - 1} \right)\left( {{\rm{x}} + 1} \right)}  - \sqrt {{\rm{x}} + 1}  \ge x + 1\)

Chia hai vế cho \(\sqrt {{\rm{x}} + 1}  > 0,\) ta có

\(\sqrt {{\rm{x}} - 1}  - 1 \ge \sqrt {{\rm{x}} + {\rm{1}}} \)

Vì x ≥ 1 nên \(\sqrt {{\rm{x}} - 1}  < \sqrt {{\rm{x}} + 1} ,\) do đó \(\sqrt {{\rm{x}} - 1}  - 1 < \sqrt {{\rm{x}} + 1} \)

Vậy bất phương trình (1) vô nghiệm.

Theo em, bạn Nam giải đúng hay sai, vì sao ?

Giải:

Nhận thấy rằng \(x = -1\) là nghiệm của bất phương trình (1). Do đó bạn Nam giải sai. Sai lầm của bạn Nam ở chỗ :

Từ  \(\left( I \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 1 \ge 0}\\{x + 1 \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left( {II} \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 1 \ge 0}\\{x + 1 \ge 0}\end{array}} \right.\)

(thấy ngay \(x = -1\) là nghiệm của (I) nhưng không là nghiệm của (II)).

Suy luận đúng là

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AB \ge 0}\\{A \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow {\rm{A}} = 0\) hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{B \ge 0}\\{A > 0}\end{array}} \right.\)

Sachbaitap.com