Câu 46 trang 143 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Vẽ đoạn thẳng AD vuông góc với AB và bằng AB (D khác phía C đối với AB), vẽ đoạn thẳng AE vuông góc với AC và bằng AC (E khác phía B đối với AC)

Chứng minh rằng:

a) DC = BE

b) \({\rm{D}}C \bot BE\)

Giải

a) Xét ∆ABE và ∆ADC, ta có:

AB = AD (gt)

AE = AC (gt)

\(\eqalign{
& \widehat {BA{\rm{E}}} = \widehat {BAC} + 90^\circ \cr
& \widehat {CA{\rm{D}}} = \widehat {BAC} + 90^\circ \cr
& \Rightarrow \widehat {BA{\rm{E}}} = \widehat {CA{\rm{D}}} \cr} \)

Suy ra: ∆ABE = ∆ADC (c.g.c)

 DC = BE (2 cạnh tương ứng)

b) Gọi giao điểm DC và AB là H, giao điểm của CD và BE là K

Ta có: ∆ABE = ∆ADC (chứng minh trên)

\(\widehat {ABE} = \widehat D\)                                                                         (1)

Trong tam giác vuông AHD, ta có: \(\widehat {HA{\rm{D}}} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat D + \widehat {AH{\rm{D}}} = 90^\circ \) (tính chất tam giác vuông)       (2)

Mà: \(\widehat {AH{\rm{D}}} = \widehat {KHB}\) (đối đỉnh)                                        (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\widehat {ABE} + \widehat {KHB} = 90^\circ \)

Trong ∆KHB, ta có:

\(\widehat {KHB} + \widehat {ABE} + \widehat {BKH} = 180^\circ \) (tổng 3 góc trong tam giác)

\( \Rightarrow \widehat {BKH} = 180^\circ  - \left( {\widehat {ABE} + \widehat {KHB}} \right) = 180^\circ  - 90^\circ  = 90^\circ \)

Vậy \(DC \bot BE\).

Sachbaitap.com