Câu 4.78 trang 149 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

a) Chứng minh rằng phương trình

                        \({x^3} - 10000{x^2} - {1 \over {100}} = 0\)

Có ít nhất một nghiệm dương.

b) Chứng minh rằng mọi số thực a, b , c , phương trình

                        \({x^3} + a{x^2} + bx + c = 0\)

Có ít nhất một nghiệm.

Giải

a) Hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 10000{x^2} - {1 \over {100}}\)  liên tục trên R \(f\left( 0 \right) =  - {1 \over {100}} < 0.\) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) =  + \infty \) nên với một số dương b đủ lớn, ta có \(f\left( b \right) > 0.\)  Vì \(f\left( 0 \right)f\left( b \right) < 0\) nên , theo hệ quả của định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại một số thực \(c \in \left( {0;b} \right)\)  sao cho \(f\left( c \right) = 0.\)

Vậy \(x = c\)  là mmotj nghiệm dương của phương trình đã cho.

b) Hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\) liên tục trên R ;

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) =  - \infty \)  và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) =  + \infty .\)

Do đó tồn tại giá trị \(x_1\in R\) sao cho \(f(x_1)<0\) và giá trị \(x_2\in R\) sao cho \(f(x_2)>0\)

Khi đó ta có: \(f(x_1).f(x_2)<0\) theo hệ quả của định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại một số thực \(c \in R\)  sao cho \(f\left( c \right) = 0.\)

Sachbaitap.com