Câu 5 trang 213 SGK Đại số và Giải tích 11 nâng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2\sin x + \cos \left( {x - {\pi  \over 4}} \right)\)

a) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của f(x)

b) Giải phương trình \(f\left( x \right) = {{\sqrt 2 } \over 2}\)

c) Tìm giá trị gần đúng (chính xác đến hàng phần nghìn) của các nghiệm nằm trong khoảng \(\left( {0;2\pi } \right)\) của phương trình \(f\left( x \right) = {{\sqrt 2 } \over 2}\)

Giải

a) Giá trị lớn nhất là  \(\sqrt {5 + 2\sqrt 2 } \); giá trị nhỏ nhất là   \( - \sqrt {5 + 2\sqrt 2 } \)

b) \(\,\,x = k2\pi ;\,\,\,x = 2\alpha  + k2\pi \) với  \(\sin \alpha  = {{4 + \sqrt 2 } \over {2\sqrt {5 + 2\sqrt 2 } }}\) và \(\cos \alpha  = {{\sqrt 2 } \over {2\sqrt {5 + 2\sqrt 2 } }}\)

c) Trong khoảng  \(\left( {0;2\pi } \right)\), không có giá trị nào thuộc họ \(\,\,x = k2\pi \). Đối với họ nghiệm thứ hai, ta có thể chọn  \(\alpha  = \arccos {{\sqrt 2 } \over {2\sqrt {5 + 2\sqrt 2 } }} \approx 1,3153\). Khi đó ta có \(0 < \alpha  < {\pi  \over 2}\) và

\(\eqalign{
& - 2\alpha + k2\pi \in \left( {0;2\pi } \right) \Leftrightarrow 0 < - 2\alpha + k2\pi < 2\pi \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 2\alpha < k2\pi < 2\alpha + 2\pi \cr} \)

Vậy chỉ có một giá trị nghiệm duy nhất của k thỏa mãn điều kiện này, đó là k = 1. Vậy \(\,\,x =  - 2\alpha  + 2\pi  \approx 3,653\)

  Sachbaitap.com