Câu 6.37 trang 202 SBT Đại số 10 Nâng cao

a) Trên đường tròn định hướng tâm \(O\) cho ba điểm \(M, N, P\). Chứng minh rằng \(M, N\) là hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng \(OP\) khi và chỉ khi sđ\((OP, OM)\) + sđ \((OP, ON)\) = \(k2\pi \left( {k \in Z} \right)\).

b) Trên đường tròn lượng giác, xét các điểm \(M, N, P\) xác định theo thứ tự bởi các số \(\alpha ,\beta ,\gamma \). Chứng minh rằng \(M, N\) là hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng OP khi bà chỉ khi \(\alpha  + \beta  = 2\gamma  + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\).

c) Tìm điều kiện để hai điểm \(M, N\) trên đường tròn lượng giác xác định theo thứ tự bởi các số \(\alpha ,\beta \) đối xứng nhau qua đường phân giác của góc phần tư II (và IV) của hệ tọa độ vuông góc gắn với đường tròn lượng giác.

d) Hỏi các điểm trên đường tròn lượng giác xác định theo thứ tự bởi các số \(\dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{2};\dfrac{{5\pi }}{6};\dfrac{{13\pi }}{{12}},\) có phải là các đỉnh của một hình thang cân hay không?

Giải:

a) Theo mô tả của cung lượng giác, hai điểm \(M, N\) trên đường tròn định hướng tâm \(O\) là hai điểm đối xứng qua đường thẳng \(OP\) (\(P\) thuộc đường tròn đó) khi và chỉ khi:

sđ cung \(PM +\) sđ cung \(PN =\) \(k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)

b) Từ câu a) nếu \(M, N, P\) thuộc đường tròn lượng giác xác định theo thứ tự bởi các số \(\alpha ,\beta ,\gamma \)thì \(M, N\) là hai điểm đối xứng qua đường thẳng \(OP\) khi và chỉ khi \(\alpha  - \gamma  + \beta  - \gamma  = k2\pi \) tức là \(\alpha  + \beta  = 2\gamma  + k2\pi ,\left( {k \in Z} \right)\)

c) Coi \(P\) xác định bởi số \(\dfrac{{3\pi }}{4}\) thì hai điểm \(M, N\) xác định theo thứ tự bởi \(\alpha ,\beta \) là hai điểm đối xứng nhau qua \(OP\) (đường phân giác của góc phần tư II và IV) khi và chỉ khi

\(\alpha  + \beta  = \dfrac{{3\pi }}{2} + k2\pi \)

d) Coi các điểm \({A_1},{A_2},{A_3},{A_4}\) trên đường tròn lượng giác xác định theo thứ tự bởi \(\dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{2};\dfrac{{5\pi }}{6};\dfrac{{13\pi }}{{12}}\). Ta phải chứng minh \({A_1}{A_2}{A_3}{A_4}\) là hình thang cân.

Cách 1. Hai cặp điểm \({A_1}\) bà \({A_4}\); \({A_2}\)và \({A_3}\) đối xứng nhau qua cùng một đường thẳng do \(\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{13\pi }}{{12}} = \dfrac{\pi }{2} + \dfrac{{5\pi }}{6} = \dfrac{{4\pi }}{3}\).

Cách 2. Góc hình học \({A_1}O{A_2}\) có số đo \(\dfrac{\pi }{2} - \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{4}\) và góc hình học \({A_3}O{A_4}\) có số đo \(\dfrac{{13\pi }}{{12}} - \dfrac{{5\pi }}{6} = \dfrac{\pi }{4}\), nên \(\widehat {{A_1}O{A_2}} = \widehat {{A_3}O{A_4}}\).

Sachbaitap.com