Câu 9 trang 239 SBT Đại số 10 Nâng cao

Cho hệ phương trình:

\(\left( I \right)\left\{ \begin{array}{l}\left( {a + 4} \right)x + ay = 2\left( {a + 1} \right)\\\left( {a + 2} \right)x + 2ay = 1.\end{array} \right.\)

a) Giải và biện luận hệ (I) theo tham số a.

b) Khi hệ (I) có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right)\), hãy tìm hệ thức giữa x và y không phụ thuộc vào a.

Giải:

a) Hệ có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{4a + 3}}{{a + 6}};\dfrac{{ - \left( {2a + 5} \right)}}{{a + 6}}} \right)\) nếu \(a \ne 0\) và \(a \ne  - 6\).

Hệ vô nghiệm nếu \(a =  - 6\); hệ vô số nghiệm \(\left( {\dfrac{1}{2};y} \right)\) với y tùy ý nếu \(a = 0\).

b) Khi \(a \ne 0\) và \(a \ne  - 6\), hệ có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{4a + 3}}{{a + 6}};\dfrac{{ - \left( {2a + 5} \right)}}{{a + 6}}} \right)\).

Do \(x = \dfrac{{4a + 3}}{{a + 6}}\) nên \(a = \dfrac{{3 - 6x}}{{x - 4}}\).

 Do đó

\(\begin{array}{l}y = \dfrac{{ - \left( {2a + 5} \right)}}{{a + 6}}\\ = \dfrac{{ - \left( {2.\dfrac{{3 - 6x}}{{x - 4}} + 5} \right)}}{{\dfrac{{3 - 6x}}{{x - 4}} + 6}}\\ = \dfrac{{x + 2}}{3}.\end{array}\)

Vậy khi hệ có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right)\) thì \(y = \dfrac{{x + 2}}{3}\).

Sachbaitap.com