Câu III.2 trang 18 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2

a. Cho ba số a, b và c đôi một phân biệt. Giải phương trình

\({x \over {\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} + {x \over {\left( {b - a} \right)\left( {b - c} \right)}} + {x \over {\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}} = 2\)

b. Cho số a và ba số b, c, d khác a và thỏa mãn điều kiện c + d = 2b. Giải phương trình

\({x \over {\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} - {{2x} \over {\left( {a - b} \right)\left( {a - d} \right)}} + {{3x} \over {\left( {a - c} \right)\left( {a - d} \right)}} = {{4a} \over {\left( {a - c} \right)\left( {a - d} \right)}}\)

Giải:

a. \({x \over {\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} + {x \over {\left( {b - a} \right)\left( {b - c} \right)}} + {x \over {\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}} = 2\)

\(\eqalign{  &  \Leftrightarrow {{x\left( {c - b} \right) + x\left( {a - c} \right) + x\left( {b - a} \right)} \over {\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} = 2  \cr  &  \Leftrightarrow 0x = 2\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right) \cr} \)

Do a, b, c đôi một khác nhau nên . Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

b. \({x \over {\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} - {{2x} \over {\left( {a - b} \right)\left( {a - d} \right)}} + {{3x} \over {\left( {a - c} \right)\left( {a - d} \right)}} = {{4a} \over {\left( {a - c} \right)\left( {a - d} \right)}}\)

\(\eqalign{  &  \Leftrightarrow {{x\left( {a - d} \right) - 2x\left( {a - c} \right) + 3x\left( {a - b} \right)} \over {\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {a - d} \right)}} = {{4a\left( {a - b} \right)} \over {\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {a - d} \right)}}  \cr  &  \Leftrightarrow x\left( {a - d - 2a + 2c + 3a - 3b} \right) = 4a\left( {a - b} \right)  \cr  &  \Leftrightarrow x\left( {2a - 3b + 2c - d} \right) = 4a\left( {a - b} \right)  \cr  &  \Leftrightarrow x\left( {2a - 3b + 2c - d} \right) = 4a\left( {a - b} \right) \cr} \)

Theo giả thiết, b + d = 2c nên 2a – 3b + 2c – d = 2a – 2b = 2 (a – b ). Do đó phương trình đã cho tương đương với phương trình

\(2\left( {a - b} \right)x = 4a\left( {a - b} \right)\)

Để ý rằng a – b ≠ 0, ta thấy ngay phương trình cuối có nghiệm duy nhất x = 2a. Vậy phương trình đã cho cũng có nghiệm duy nhất x =2a.