Đề 1 trang 224 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

ĐỀ 1

Câu 1 trang 224 sách bài tập (SBT) – Giải tích 12 (4 điểm)

Cho hàm số  \(y = 2 - {2 \over {x - 2}}\)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

2) Từ (C) vẽ đồ thị của hàm số  \(y = |{{2(x - 3)} \over {x - 2}}|\)          (1)

Dựa vào đồ thị (1), hãy biện luận theo k số nghiệm của phương trình  \(|{{2(x - 3)} \over {x - 2}}| = {\log _2}k\)         (2)

3) Tìm các điểm thuộc (C) có tọa độ nguyên.

Hướng dẫn làm bài

1) Vẽ đồ thị hàm số

2) Đồ thị của (1) được suy ra từ đồ thị (C) bằng cách giữ nguyên phần đồ thị nằm phía trên trục hoành và lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành

Số nghiệm của (2) là số giao điểm của đồ thị (1) với đường thẳng \(y = {\log _2}k\)

Dựa trên đồ thị, ta suy ra:

* Phương trình (2) vô nghiệm nếu

\( - \infty  < {\log _2}k < 0 \Leftrightarrow < k < 1\)

* Phương trình (2) có một nghiệm nếu \({\log _2}k = 0\)  hoặc \({\log _2}k = 2\) , tức là khi k = 1 hoặc k = 4.

* Phương trình (2) có hai nghiệm nếu \(0 < {\log _2}k < 2\)  hoặc \({\log _2}k > 2\) , tức là khi 1 < k < 4 hoặc  k > 4.

Kết luận: Phương trình vô nghiệm khi 0 < k < 1 ;

                Phương trình có một nghiệm khi k = 1 hoặc k = 4 ;

                Phương trình có hai nghiệm khi 1 < k < 4 hoặc k > 4.

3) Ta có \(y = 2 - {2 \over {x - 2}}\) nên y nguyên khi và chỉ khi x – 2 là ước của 2, tức là  \(x - 2 =  \pm 1\) hoặc \(x - 2 =  \pm 2\)  . Từ đó, ta có các điểm có tọa độ nguyên là (3; 0), (1; 4), (4; 1) và (0; 3).

Câu 2 trang 224 sách bài tập (SBT) – Giải tích 12 (3 điểm)

Giải các phương trình sau:

1) \({32^{{{x + 5} \over {x - 7}}}} = 0,{25.128^{{{x + 17} \over {x - 3}}}}\)                                             

2) \({\log _2}(\cot x + \tan 3x) - 1 = {\log _2}(\tan 3x)\)

Hướng dẫn làm bài

1) Vì \(32 = {2^5};0,25 = {1 \over 4} = {2^{ - 2}};128 = {2^7}\) , nên phương trình đã cho tương đương với:

\({2^{{{5(x + 5)} \over {x - 7}}}} = {2^{{{7(x + 17)} \over {x - 3}} - 2}} \Leftrightarrow  {{5x + 25} \over {x - 7}} = {{5x + 125} \over {x - 3}} \Leftrightarrow  x = 10\)  (thỏa mãn điều kiện \(x \ne 7,x \ne 3\) )

2) Điều kiện  

\(\left\{ {\matrix{{\cot x + \tan 3x > 0} \cr {\tan 3x > 0} \cr} } \right.\)

Phương trình đã cho tương đương với \(\cot x + \tan 3x = 2\tan 3x\)

\(\Leftrightarrow \cot x = \tan 3x\)     (*)

\(\Leftrightarrow 3x = {\pi  \over 2} - x + k\pi \Leftrightarrow x = {\pi  \over 8} + {{k\pi } \over 4},k \in Z\)

Để chọn những góc thỏa mãn điều kiện, trước hết từ (*) suy ra  và  phải cùng dấu với nhau.

Lần lượt cho k = 0, 1, 2, ……,7, ta chọn được những góc không thỏa mãn điều kiện.

Khi đó, nghiệm của phương trình đã cho là \(x = {\pi  \over 8} + k\pi \)  và  \(x = {{3\pi } \over 8} + k\pi ,k \in Z\)

Câu 3 trang 224 sách bài tập (SBT) – Giải tích 12 (3 điểm)

1) Tính tích phân   \(\int\limits_0^2 {\sqrt {1 + 2{x^2}} xdx} \)   (đặt  \(t = \sqrt {1 + 2{x^2}} \))

2) Tìm modun của số phức \(z = {{ - 8 - 3i} \over {1 - i}}\)

Hướng dẫn làm bài

a) Đổi biến: \(t = \sqrt {1 + 2{x^2}}\Rightarrow {t^2} = 1 + 2{x^2}\)

 \(\Rightarrow 2tdt = 4xdx =  > xdx = {{tdt} \over 2}\)

Và \(x = 0 \Rightarrow  t = 1 ; x = 2\Rightarrow  t = 3.\)

Vậy \(\int\limits_0^2 {\sqrt {1 + 2{x^2}} } dx = {1 \over 2}\int\limits_1^3 {{t^2}dt = {1 \over 6}{t^3}\left| {\matrix{3 \cr 1 \cr} } \right.} = 4{1 \over 3}\)

b) Áp dụng công thức \(|z| = {{|{z_1}|} \over {|{z_2}|}}\) . Đáp số:  \(|z| = {{\sqrt {146} } \over 2}\)

Sachbaitap.com