Đề 3 trang 24 Sách bài tập (SBT) Hình học 12

ĐỀ 3 (45 phút)

Câu 1 (4 điểm) trang 24 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có thể tích bằng V, I là giao điểm các đường chéo của nó. Mặt phẳng (P) đi qua I và cắt các cạnh bên của khối hộp chia khối hộp đó thành hai khối đa diện. Tính thể tích của mỗi khối đa diện đó theo V.

Hướng dẫn làm bài

Giả sử (P) cắt AA’ , BB’ , CC’ , DD’ lần lượt tại A’’ , B’’ , C’’ , D’’.

Vì A’’ , I , C’’ là điểm chung của hai mặt phẳng (P) và (BDD’B’) nên chúng thẳng hàng. Tương tự  B’’ , I , D’’ thẳng hàng. 

Vì (ABB’A’) // (DCC’D’) nên A’’B’’ // D’’C’’ . Tương tự,  B’’C’’ //A’’D’’ .

Suy ra A’’B’’C’’D’’ là hình bình hành.

Mặt phẳng (P) chia khối hộp ABCD.A’B’C’D’ thành hai khối đa diện. Gọi (H) là khối đa diện chứa đỉnh A, (H’) là khối đa diện còn lại. Phép đối xứng qua tâm I biến (H) thành (H’) nên hai khối đa diện (H) và (H’) bằng nhau.

Từ đó suy ra:  \({V_H} = {V_{H'}} = {V \over 2}\)

Câu 2 (6 điểm) trang 24 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD, SA vuông góc với đáy,\(SA{\rm{ }} = {\rm{ }}AB{\rm{ }} = {\rm{ }}a,AD = a\sqrt 2 \) . Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của AC và BE.

a) Tính thể tích tứ diện FBIC.

b) Tính thể tích tứ diện SBIF.

c) Tính thể tích hình chóp B.SAIF.

Hướng dẫn làm bài

a) Vì I là trọng tâm của tam giác ABD nên \(AI = {1 \over 3}AC\)

Do đó: \({S_{BIC'}} = {2 \over 3}{S_{ABC}} = {2 \over 3}{1 \over 2}{\rm{aa}}\sqrt 2  = {{{a^2}\sqrt 2 } \over 3}\)

Vì F là trung điểm của SC nên : \(d(F,(IBC)) = {1 \over 2}d(S,(IBC)) = {a \over 2}\)

Suy ra:  \({V_{F.IBC}} = {1 \over 3}{{{a^2}\sqrt 2 } \over 3}{a \over 2} = {{\sqrt 2 } \over {18}}{a^3}\)

b) Vì SF = CF nên d(S, (BIF)) = d(C, (BIF))

Do đó:  \({V_{S.B{\rm{IF}}}} = {V_{C.BIF}} = {V_{F.IBC}} = {{\sqrt 2 } \over {18}}{a^3}\)

c) Ta có: \({V_{S.ABC}} = {1 \over 3}{1 \over 2}{a^2}\sqrt 2 .a = {{{a^3}\sqrt 2 } \over 6}\) .

Suy ra:  \({V_{B.S{\rm{AIF}}}} = {V_{S.ABC}} - {V_{F.IBC}} = {{{a^3}\sqrt 2 } \over 6} - {{{a^3}\sqrt 2 } \over {18}} = {{\sqrt 2 } \over 9}{a^3}\)

Sachbaitap.com