Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 trang 124, 125 SGK Toán 9 Cánh Diều tập 1

Bài 1 trang 124 SGK Toán 9 tập 1 - Cánh Diều

Trong Hình 92, cho các điểm \(A,B,C,D,E\) thuộc đường tròn \(\left( O \right)\).

a) Số đo góc \(BOC\) là:

A. \(\alpha \)

B. \(2\alpha \)

C. \(180^\circ  - \alpha \)

B. \(180^\circ  - 2\alpha \)

b) Số đo góc \(BDC\) là:

A. \(\alpha \)

B. \(\frac{\alpha }{2}\)

C. \(180^\circ  - \alpha \)

D. \(180^\circ  - \frac{\alpha }{2}\)

c) Số đo góc \(BEC\) là:

A. \(\alpha \)

B. \(2\alpha \)

C. \(180^\circ  - \alpha \)

D. \(360^\circ  - \alpha \)

Phương pháp:

Dựa vào mối liên hệ giữa góc nội tiếp đường tròn và góc ở tâm để tính.

Lời giải:

a) Đáp án đúng là: B

Xét đường tròn (O) có  lần lượt là góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung BC.

Do đó 

b) Đáp án đúng là: A

Xét đường tròn (O) có   là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC.

Do đó 

c) Đáp án đúng là: C

Xét đường tròn (O), ta có:

Bài 2 trang 124 SGK Toán 9 tập 1 - Cánh Diều

a) Độ dài cung tròn có số đo \(30^\circ \) của đường tròn có bán kính \(R\) là:

A. \(\frac{{\pi R}}{{180}}\)

B. \(\frac{{\pi R}}{{360}}\)

C. \(30\pi R\)

D. \(\frac{{\pi R}}{6}\)

b) Diện tích của hình quạt tròn tâm O, bán kính R, cung có số đo \(45^\circ \) là:

A. \(\frac{{\pi {R^2}}}{{45}}\)

B. \(\frac{{\pi {R^2}}}{4}\)

C. \(\frac{{\pi {R^2}}}{8}\)

D. \(\frac{{\pi {R^2}}}{{16}}\)

Phương pháp:

Dựa vào kiến thức “Căn bậc hai của một số thực a không âm là số thực x sao cho \(x_{}^2 = a\)” để giải bài toán.

Lời giải:

a) Đáp án đúng là: D

Áp dụng công thức  ta có độ dài cung tròn có số đo 30° của đường tròn bán kính R là: 

b) Đáp án đúng là: C

Áp dụng công thức  ta có diện tích hình quạt tròn tâm O, bán kính R, cung có số đo 45° là: 

Bài 3 trang 124 SGK Toán 9 tập 1 - Cánh Diều

Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(r\) và đường tròn \(\left( {C;r} \right)\) giả sử \(M\) là một điểm nằm trên đường tròn \(\left( {C;r} \right)\) sao cho điểm \(M\) nằm trong hình vuông \(ABCD\). Tiếp tuyến của đường tròn \(\left( {C;r} \right)\) tại tiếp điểm \(M\) cắt các đoạn thẳng \(AB,AD\) lần lượt tại \(N,P\). Chứng minh:

a) Các đường thẳng \(NB,PD\) là các tiếp tuyến của đường tròn \(\left( {C;r} \right)\).

b) \(\widehat {NCP} = \widehat {NCB} + \widehat {PCD} = 45^\circ \).

Phương pháp:

Dựa vào kiến thức đã học để chứng minh.

Lời giải:

a) Vì ABCD là hình vuông nên ta có 

Hay CB ⊥ AB tại B và CD ⊥ AD tại D.

Mà CB và CD là bán kính của đường tròn (C; r) và B ∈ (C; r); D ∈ (C; r).

Suy ra AB, AD là các tiếp tuyến của đường tròn (C; r).

Vậy các đường thẳng NB, PD là các tiếp tuyến của đường tròn (C; r).

b) Xét đường tròn (C; r) có hai tiếp tuyến PM và PD cắt nhau tại P nên PC là tia phân giác của 

Tương tự, MN và NB là hai tiếp tuyến của đường tròn (C; r) cắt nhau tại N nên CN là tia phân giác của Suy ra 

Tương tự, MN và NB là hai tiếp tuyến của đường tròn (C; r) cắt nhau tại N nên CN là tia phân giác của Suy ra 

Bài 4 trang 124 SGK Toán 9 tập 1 - Cánh Diều

Chứng minh trong một đường tròn:

a) Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy;

b) Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy;

c) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm;

d) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.

Phương pháp:

Dựa vào kiến thức đã học để chứng minh.

Lời giải:

a) 

Gọi (O) là đường tròn có đường kính vuông góc với dây AB tại H.

Xét ∆OAB có OA = OB = R nên ∆OAB cân tại O.

∆OAB cân tại O có OH là đường cao (do OH ⊥ AB) nên đồng thời là đường trung tuyến của tam giác. Do đó H là trung điểm của AB.

Vậy đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

b) 

Gọi (O) là đường tròn có đường kính đi qua trung điểm H của dây AB.

Xét ∆OAB có OA = OB = R nên ∆OAB cân tại O.

∆OAB cân tại O có OH là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao của tam giác. Do đó OH ⊥ AB tại H.

Vậy đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.

c) 

Gọi (O) là đường tròn có hai dây AB, CD. Gọi OH, OK lần lượt là khoảng cách từ O đến AB, CD. Khi đó OH ⊥ AB tại H và OK ⊥ CD tại K.

Do đó, theo kết quả của câu a, ta có: H, K lần lượt là trung điểm của AB, CD.

Suy ra HB = AB và KD = CD.

Mà AB = CD nên HB = KD. (1)

Xét ∆OHB vuông tại H, ta có: OB² = OH² + HB² (định lí Pythagore).

Suy ra OH² = OB² – HB² = R² – HB². (2)

Xét ∆OKD vuông tại H, ta có: OD² = OK² + KD² (định lí Pythagore).

Suy ra OK² = OD² – KD² = R² – KD². (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra OH² = OK², hay OH = OK.

Vậy hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.

d) 

Gọi (O) là đường tròn có hai dây AB, CD bằng nhau. Gọi OH, OK lần lượt là khoảng cách từ O đến AB, CD. Khi đó OH ⊥ AB tại H, OK ⊥ CD tại K.

Do đó, theo kết quả của câu a, ta có: H, K lần lượt là trung điểm của AB, CD.

Suy ra AB = 2HB và CD = 2KD.

Theo bài, OH = OK, suy ra OH² = OK². (1)

Xét ∆OHB vuông tại H, ta có: OB² = OH² + HB² (định lí Pythagore).

Suy ra HB² = OB² – OH² = R² – OH². (2)

Xét ∆OKD vuông tại H, ta có: OD² = OK² + KD² (định lí Pythagore).

Suy ra KD² = OD² – OK² = R² – OK². (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra HB² = KD², hay HB = KD.

Do đó 2HB = 2KD hay AB = CD.

Vậy hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.

Bài 5 trang 124 SGK Toán 9 tập 1 - Cánh Diều

Cho hai đường tròn \(\left( {I;r} \right)\) và \(\left( {K;R} \right)\) tiếp xúc ngoài với nhau tại \(P\) với \(R \ne r\), đường thẳng \(a\) lần lượt tiếp xúc với \(\left( {I;r} \right)\) và \(\left( {K;R} \right)\) tại \(A\) và \(B,a\) cắt \(KI\) tại \(O\). Đường thẳng qua \(P\) vuông góc với \(IK\) cắt đường thẳng \(a\) tại \(M\). Chứng minh:

a) \(\frac{{OI}}{{OK}} = \frac{r}{R}\);

b) \(AB = 2MP\);

c) \(\widehat {IMK} = 90^\circ \).

Phương pháp:

Dựa vào kiến thức đã học để chứng minh.

Lời giải:

a) Vì đường thẳng a là tiếp tuyến của hai đường tròn (I) và (K) lần lượt tại tiếp điểm A, B nên IA ⊥ a tại A, KB ⊥ a tại B. Do đó IA // KB.

Xét ∆OBK có IA // KB nên (hệ quả định lí Thalès).

Xét đường tròn (I), hai tiếp tuyến MA, MP cắt nhau tại M nên MA = MP (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Xét đường tròn (K), hai tiếp tuyến MB, MP cắt nhau tại M nên MB = MP (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Do đó MA + MB = MP + MP hay AB = 2MP.

c) Xét đường tròn (I), hai tiếp tuyến MA, MP cắt nhau tại M nên MI là tia phân giác của góc AMP (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau). Do đó 

Xét đường tròn (K), hai tiếp tuyến MB, MP cắt nhau tại M nên MK là tia phân giác của góc BMP (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau). Do đó 

Ta có:

Bài 6 trang 125 SGK Toán 9 tập 1 - Cánh Diều

Mặt đĩa CD ở Hình 93 có dạng hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn có bán kính lần lượt là 1,5cm và 6cm. Hình vành khuyên đó có diện tích bằng băng nhiêu centimét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Phương pháp:

Dựa vào kiến thức đã học để chứng minh.

Lời giải:

Diện tích mặt đĩa CD có dạng hình vành khuyên là:

S = π(6² – 1,5²) = 33,75π ≈ 106 (cm²).

Bài 7 trang 125 SGK Toán 9 tập 1 - Cánh Diều

Hình 94 mô tả mảnh vải có dạng một phần tư hình vành khuyên, trong đó hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn cùng tâm và có các bán kính lần lượt là 3dm và 5dm. Diện tích của mảnh vải đó bằng bao nhiêu decimét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Phương pháp:

Dựa vào kiến thức đã học để chứng minh.

Lời giải:

Diện tích mảnh vải có dạng một phần tư hình vành khuyên là: 

Bài 8 trang 125 SGK Toán 9 tập 1 - Cánh Diều

Logo ở Hình 95 có dạng một hình quạt tròn bán kính 8cm và góc ở tâm bằng \(60^\circ \). Tính diện tích mỗi hình sau (theo đơn vị centimét vuông và làm tròn kết quả đến hàng phần mười):

a) Toàn bộ logo;

b) Phần logo màu đỏ có dạng hình viên phấn.

Phương pháp:

Dựa vào kiến thức đã học để chứng minh.

Lời giải:

a) Diện tích toàn bộ phần logo có dạng hình quạt tròn là:

b)

Kẻ OH ⊥ AB. 

Xét ∆OAB có OA = OB = R và  nên ∆OAB là tam giác đều. Do đó 

Xét ∆OHA vuông tại H, ta có:  (cm).

Diện tích phần logo màu xanh có dạng tam giác OAB là:

Diện tích phần logo màu đỏ có dạng hình viên phân là:

S₂ = S – S₁ ≈ 33,5 – 27,7 = 5,8 (cm²).

Đổi1 dặm = 1 609 m = 1,609 km.

a) Diện tích vùng biển có thể nhìn thấy ánh sáng từ hải đăng là:

b) Khoảng cách nhỏ nhất từ con thuyền đến ngọn hải đăng chính là đoạn thẳng vuông góc OH từ ngọn hải đăng (điểm O) đến dây cung CD được mô tả bởi hình vẽ sau:

Xét đường tròn (O) có OH ⊥ CD tại H nên theo kết quả câu a, Bài 4, SGK Toán 9, Tập một, trang 124, ta có: H là trung điểm của CD.

Khi đó

Khi đó CH = CD = .28 = 14 (dặm).

Xét ∆OHC vuông tại H, theo định lí Pythagore, ta có:

OC² = OH² + CH²

Suy ra OH² = OC² – CH² = 18² – 14² = 128. 

Do đó OH = 11 (dặm).

Vậy khoảng cách nhỏ nhất từ thuyền đến ngọn hải đăng khoảng 11 dặm.

Sachbaitap.com