Giải SBT Toán 10 trang 106, 107, 108 Cánh Diều tập 1

Bài 67 trang 106 SBT Toán 10 - Cánh Diều

Cho góc nhọn \(\alpha \). Biểu thức (sin\(\alpha \). cot\(\alpha \))² + (cos\(\alpha \) . tan\(\alpha \))² bằng:

A. 2    

B. tan²\(\alpha \) + cot²\(\alpha \)     

C. 1    

D. sin\(\alpha \) + cos\(\alpha \)

Phương pháp:

Sử dụng các công thức lượng giác cơ bản để biến đổi giả thiết

Lời giải:

Đáp án đúng là C

Bài 68 trang 106 SBT Toán 10 - Cánh Diều

Cho các vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b  \ne \overrightarrow 0 \). Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\left| {\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)} \right|\)

B. \(\left| {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\)

C. \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\sin \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\)

D. \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\)

Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ

Lời giải:

Đáp án đúng là D

Bài 69 trang 106 SBT Toán 10 - Cánh Diều

Cho tứ giác ABCD. Biểu thức \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CD} \) bằng:

A. CD²

B. 0

C. \(\overrightarrow 0 \)

D. 1

Phương pháp:

Bước 1: Đặt \(\overrightarrow {CD} \) là nhân tử chung

Bước 2: Sử dụng các quy tắc vectơ và định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ để biến đổi giả thiết

Lời giải:

Đáp án đúng là B

Bài 70 trang 106 SBT Toán 10 - Cánh Diều

Cho góc nhọn \(\alpha \). Biểu thức tan\(\alpha \). tan(90° - \(\alpha \)) bằng:

A. tan\(\alpha \) + cot\(\alpha \)       

B. tan²\(\alpha \)        

C. 1    

D. tan²\(\alpha \) + cot²\(\alpha \)

Phương pháp:

Sử dụng định lí giá trị lượng giác của hai góc phụ nhau và các công thức lượng giác cơ bản để biến đổi giả thiết

Lời giải:

Đáp án đúng là C

Bài 71 trang 106 SBT Toán 10 - Cánh Diều

Cho \(\alpha \) thoả mãn \(\sin \alpha  = \frac{3}{5}\). Tính cos\(\alpha \), tan\(\alpha \), cot\(\alpha \), sin(90° - \(\alpha \)), cos(90° - \(\alpha \)), sin(180° – \(\alpha \)),

cos(180° – \(\alpha \)) trong các trường hợp sau:

a) 0° < \(\alpha \) < 90°

b) 90° < \(\alpha \) < 180°

Lời giải:

a) Theo giả thiết, 0° < \(\alpha \) < 90° \( \Rightarrow \cos \alpha  > 0,\tan \alpha  > 0,\cot \alpha  > 0\)

+ Ta có: \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha  = 1 - {\sin ^2}\alpha  = 1 - {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{{16}}{{25}}\) \( \Rightarrow \cos \alpha  = \frac{4}{5}\)

+ \(\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{3}{4};\cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{4}{3}\)

+ \(\sin ({90^0} - \alpha ) = \cos \alpha  = \frac{4}{5};\cos ({90^0} - \alpha ) = \sin \alpha  = \frac{3}{5}\)

+ \(\sin \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = \sin \alpha  = \frac{3}{5};\cos \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) =  - \cos \alpha  =  - \frac{4}{5}\)

b) Theo giả thiết, 90° < \(\alpha \) < 180° \( \Rightarrow \cos \alpha  < 0,\tan \alpha  < 0,\cot \alpha  < 0\)

+ Ta có: \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha  = 1 - {\sin ^2}\alpha  = 1 - {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{{16}}{{25}}\) \( \Rightarrow \cos \alpha  =  - \frac{4}{5}\)

+ \(\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} =  - \frac{3}{4};\cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} =  - \frac{4}{3}\)

+ \(\sin ({90^0} - \alpha ) = \cos \alpha  =  - \frac{4}{5};\cos ({90^0} - \alpha ) = \sin \alpha  = \frac{3}{5}\)

+ \(\sin \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = \sin \alpha  = \frac{3}{5};\cos \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) =  - \cos \alpha  = \frac{4}{5}\)

 Bài 72 trang 107 SBT Toán 10 - Cánh Diều

Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 6, \(\widehat {BAC}\) = 60°. Tính (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị):

a) Độ dài cạnh BC và độ lớn góc B   

b) Bán kính đường tròn ngoại tiếp R

c) Diện tích của tam giác ABC

d) Độ dài đường cao xuất phát tử A

e) \(\overrightarrow {AB.} \overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AC} \) với M là trung điểm của BC

Lời giải:

a) Áp dụng định lí cosin cho ∆ABC ta có:

+ \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2.AB.AC.\cos A\)\( = {4^2} + {6^2} - 2.4.6.\cos {60^0} = 28\) \( \Rightarrow BC = 2\sqrt 7 \)

+ \(\cos B = \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2.AB.BC}} \Rightarrow \widehat B \approx {79^0}\)

b) Áp dụng định lí sin cho ∆ABC ta có: \(\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow R = \frac{{BC}}{{2\sin A}} = \frac{5}{{2.\sin {{60}^0}}} \approx 3\)

c) Diện tích tam giác ABC là: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin A = \frac{1}{2}.4.6.\sin {60^0} \approx 10\)

d) Gọi AH là một đường cao của tam giác ABC

Ta có: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AH.BC \Rightarrow AH = \frac{{2{S_{ABC}}}}{{BC}} \approx 4\)

e) Ta có:

+\(\overrightarrow {AB.} \overrightarrow {AC}  = AB.AC.\cos \widehat {BAC} = 4.6.\cos {60^0} = 12\)

+ Do M là trung điểm BC nên \(\overrightarrow {AM}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right)\)

 \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AC}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right).\overrightarrow {AC}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  + \frac{1}{2}{\overrightarrow {AC} ^2} = \frac{1}{2}.12 + \frac{1}{2}{.6^2} = 24\)

Bài 73 trang 107 SBT Toán 10 - Cánh Diều

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = \frac{1}{2}\left( {A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}} \right)\) (*)

Lời giải:

Xét \(A{B^2} + A{C^2} - B{C^2} = \left( {{{\overrightarrow {AB} }^2} + {{\overrightarrow {AC} }^2} - {{\overrightarrow {BC} }^2}} \right) = \left[ {{{\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right)}^2} - 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  - {{\overrightarrow {BC} }^2}} \right]\)

\( = \left[ {\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {BC} } \right)\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BC} } \right) - 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right]\) \( = \left[ {\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CB}  - \overrightarrow {CA} } \right)\left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AC} } \right) - 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right]\)

\( = \left( {2\overrightarrow {AB} .2\overrightarrow {AC}  - 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right) = 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)

Vậy \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = \frac{1}{2}\left( {A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}} \right)\) (ĐPCM)

Bài 74 trang 107 SBT Toán 10 - Cánh Diều

Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 6, CA = 7. Tính:

a) sin\(\widehat {ABC}\)

b) Diện tích tam giác ABC

c) Độ dài trung tuyến AM 

Lời giải:

a) Ta có: \(\cos \widehat {ABC} = \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2AB.BC}} = \frac{1}{5}\)

Mặt khác, \({\sin ^2}\widehat {ABC} + {\cos ^2}\widehat {ABC} = 1 \Rightarrow {\sin ^2}\widehat {ABC} = \frac{{24}}{{25}}\) \( \Rightarrow \sin \widehat {ABC} = \frac{{2\sqrt 6 }}{5}\) (Do \({0^0} < \widehat {ABC} < {180^0}\))

b) Diện tích ∆ABC là: \(S = \frac{1}{2}AB.BC.\sin \widehat {ABC} = \frac{1}{2}.5.6.\frac{{2\sqrt 6 }}{5} = 6\sqrt 6 \)

c) Gọi AM là một đường trung tuyến của ∆ABC, ta có:

\(A{M^2} = \frac{{A{B^2} + A{C^2}}}{2} - \frac{{B{C^2}}}{4} = 28\) \( \Rightarrow AM = 2\sqrt 7 \)

Bài 75 trang 107 SBT Toán 10 - Cánh Diều

Cho ba điểm phân biệt I, A, B và số thực k ≠ 1 thoả mãn \(\overrightarrow {IA}  = k\overrightarrow {IB} \). Chứng minh rằng với O là điểm bất kì ta có:

\(\overrightarrow {OI}  = \left( {\frac{1}{{1 - k}}} \right)\overrightarrow {OA}  - \left( {\frac{k}{{1 - k}}} \right)\overrightarrow {OB} \) (*)

Lời giải:

Theo giả thiết, \(\overrightarrow {IA}  = k\overrightarrow {IB} \)

Xét vế phải (*) ta có:

VT = \(\left( {\frac{1}{{1 - k}}} \right)\overrightarrow {OA}  - \left( {\frac{k}{{1 - k}}} \right)\overrightarrow {OB}  = \left( {\frac{1}{{1 - k}}} \right)\left( {\overrightarrow {OI}  + \overrightarrow {IA} } \right) - \left( {\frac{k}{{1 - k}}} \right)\left( {\overrightarrow {OI}  + \overrightarrow {IB} } \right)\)

      \( = \left( {\frac{1}{{1 - k}}} \right)\overrightarrow {OI}  + \left( {\frac{1}{{1 - k}}} \right)\overrightarrow {IA}  - \left( {\frac{k}{{1 - k}}} \right)\overrightarrow {OI}  - \left( {\frac{k}{{1 - k}}} \right)\overrightarrow {IB} \) \( = \left( {\frac{1}{{1 - k}} - \frac{k}{{1 - k}}} \right)\overrightarrow {OI}  + \left( {\frac{1}{{1 - k}}} \right).k\overrightarrow {IB}  - \left( {\frac{k}{{1 - k}}} \right)\overrightarrow {IB} \)

      \( = \overrightarrow {OI}  + \left( {\frac{1}{{1 - k}}} \right).k\overrightarrow {IB}  - \left( {\frac{k}{{1 - k}}} \right)\overrightarrow {IB}  = \overrightarrow {OI}  + \left( {\frac{k}{{1 - k}} - \frac{k}{{1 - k}}} \right)\overrightarrow {IB} \) \( = \overrightarrow {OI} \) (ĐPCM)

Bài 76 trang 107 SBT Toán 10 - Cánh Diều

Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 5, \(\widehat {BAC}\) = 120°. Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng BC, điểm D thoả mãn \(\overrightarrow {AD}  = \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} \). Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) và chứng minh \(AM \bot BD\)

Lời giải:

a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = AB.AC.\cos \widehat {BAC} = 4.5.\cos {120^0} =  - 10\)

b) Do M là trung điểm BC nên \(\overrightarrow {AM}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right)\); \(AD = \frac{2}{5}AC = 2\)

Xét \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BD}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right)\left( {\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} } \right)\)\( = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  - \frac{1}{2}{\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD}  - \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} \)

                   \( = \frac{1}{2}AB.AD.\cos \widehat {BAD} - \frac{1}{2}A{B^2} + \frac{1}{2}.\frac{2}{5}A{C^2} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)

                   \( = \frac{1}{2}.4.2.\cos {120^0} - \frac{1}{2}{.4^2} + \frac{1}{5}{.5^2} - \frac{1}{2}.( - 10) = 0\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BD}  = 0 \Rightarrow AM \bot BD\)

Bài 77 trang 107 SBT Toán 10 - Cánh Diều

Một người quan sát đứng ở bờ sông muốn đo độ rộng của khúc sông chỗ chảy qua vị trí đang đứng (khúc sông tương đối thẳng, có thể xem hai bờ song song với nhau).

Từ vị trí đang đứng A, người đó đo được góc nghiêng \(\alpha \) = 35° so với bờ sông tới một vị trí C quan sát được ở phía bờ bên kia. Sau đó di chuyển dọc bờ sông đến vị trí B cách A một khoảng d = 50 m và tiếp tục đo được góc nghiêng \(\beta \)=65° so với bờ sông tới vị trí C đã chọn (Hình 53). Hỏi độ rộng của con sông chỗ chảy qua vị trí người quan sát đang đứng là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Lời giải:

Ta có: \(\widehat {ABC} = {180^0} - {65^0} = {115^0} \Rightarrow \widehat {ACB} = {180^0} - \left( {\widehat {CAB} + \widehat {ABC}} \right) = {30^0}\)

Áp dụng định lí sin cho ∆ABC ta có: \(\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Rightarrow BC = \frac{{AB.\sin A}}{{\sin C}} = \frac{{50.\sin {{35}^0}}}{{\sin {{30}^0}}} \approx 57,36\) (m)

Diện tích tam giác ABC là: \(S = \frac{1}{2}BC.AB.\sin \widehat {ABC} = \frac{1}{2}.57,36.50.\sin {115^0} \approx 1299,65\) (m²)

Gọi h_c là chiều cao kẻ từ đỉnh C của ∆ABC

Ta có: \(S = \frac{1}{2}AB.{h_C} \Rightarrow {h_C} = \frac{{2S}}{{AB}} \approx 51,99\) (m)

Vậy chiều rộng khúc sông là 51,99 m

Bài 78 trang 107 SBT Toán 10 - Cánh Diều

Cho hai vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) và \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 4,\left| {\overrightarrow b } \right| = 5,\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {135^0}\). Tính \(\left( {\overrightarrow a  + 2\overrightarrow b } \right).\left( {2\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right)\)

Phương pháp:

Rút gọn biểu thức \(\left( {\overrightarrow a  + 2\overrightarrow b } \right).\left( {2\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right)\) rồi sử dụng định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ

Lời giải:

Ta có: \(\left( {\overrightarrow a  + 2\overrightarrow b } \right).\left( {2\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right) = 2{\overrightarrow a ^2} - \overrightarrow a .\overrightarrow b  + 4\overrightarrow a .\overrightarrow b  - 2{\overrightarrow b ^2} = 2{\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + 3\overrightarrow a .\overrightarrow b  - 2{\left| {\overrightarrow b } \right|^2}\)

Xét \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 4.5.\cos {135^0} =  - 10\sqrt 2 \)

\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow a  + 2\overrightarrow b } \right).\left( {2\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right) = {2.4^2} + 3.\left( { - 10\sqrt 2 } \right) - {2.5^2} =  - 18 - 30\sqrt 2 \)

Bài 79 trang 108 SBT Toán 10 - Cánh Diều

a) Chứng minh đẳng thức \({\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b \) với \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) là hai vectơ bất kì

b) Cho \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 2,\left| {\overrightarrow b } \right| = 3,\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = \sqrt 7 \). Tinh \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \) và \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\)

Phương pháp:

Bước 1: Dựng hình bình hành ABCD sao cho \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow b \)

Bước 2: Sử dụng các quy tắc vectơ và hệ thức lượng trong tam giác để chứng minh đẳng thức

\({\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b \)

Bước 3: Áp dụng đẳng thức \({\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b \) để tính \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \) và \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\)

Lời giải:

a) Xét hình bình hành ABCD thỏa mãn \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow b \)

Theo quy tắc hình bình hành ta có:

 \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC}  \Rightarrow \left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = AC\)

Mà \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB.AC.\cos B = A{B^2} + A{D^2} - 2AB.AD.\cos B\)

Mặt khác, \(\widehat {BAD} + \widehat B = {180^0} \Rightarrow \cos \widehat B =  - \cos \widehat {BAD}\)

\( \Rightarrow A{C^2} = A{B^2} + A{D^2} + 2AB.AD.\cos \widehat {BAD} = {\left| {\overrightarrow {AB} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {AD} } \right|^2} + 2AB.AD.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) = {\left| {\overrightarrow {AB} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {AD} } \right|^2} + 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} \)

\( \Rightarrow {\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b \) (ĐPCM)

b) Theo a) \({\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b \)

\( \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = \frac{{{{\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right|}^2} - {{\left| {\overrightarrow a } \right|}^2} - {{\left| {\overrightarrow b } \right|}^2}}}{2} = \frac{{{{\sqrt 7 }^2} - {2^2} - {3^2}}}{2} =  - 3\)

Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  =  - 3 \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) =  - 3 \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{ - 3}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} =  - \frac{1}{2}\) \( \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {120^0}\)

Bài 80 trang 108 SBT Toán 10 - Cánh Diều

Cho tam giác ABC có ba trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh rằng:

\(\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BE} .\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {CF} .\overrightarrow {AB}  = 0\)(*)

Phương pháp:

Sử dụng tính chất trung điểm của đoạn thẳng để biến đổi vế trái đẳng thức (*)

Lời giải:

+ Do D là trung điểm BC nên \(\overrightarrow {AD}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right)\)

+ Do E là trung điểm AC nên \(\overrightarrow {BE}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC} } \right)\)

+ Do F là trung điểm AB nên \(\overrightarrow {CF}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {CB} } \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BE} .\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {CF} .\overrightarrow {AB} \)\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right).\overrightarrow {BC}  + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC} } \right).\overrightarrow {CA}  + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {CB} } \right).\overrightarrow {AB} \)

\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {AB} } \right)\)

\( = \frac{1}{2}\left( { - \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CA}  - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BA} } \right)\)\( = \frac{1}{2}.0 = 0\) (ĐPCM)

Bài 81 trang 108 SBT Toán 10 - Cánh Diều

Cho tử giác ABCD. M là điểm thay đổi trong mặt phẳng thoả mãn \(\left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right).\left( {\overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD} } \right) = 0\). Chứng minh rằng điểm M luôn nằm trên một đường tròn cố định.

Lời giải:

Theo giả thiết, \(\left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right).\left( {\overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD} } \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = 0\\\overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD}  = 0\end{array} \right.\)

Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB và CD \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = 2\overrightarrow {MP} \\\overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD}  = 2\overrightarrow {MQ} \end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right).\left( {\overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD} } \right) = 0 \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MP} .2\overrightarrow {MQ}  = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {MP} .\overrightarrow {MQ}  = 0\)

+ Nếu M không trùng với P hoặc Q thì \(\overrightarrow {MP} .\overrightarrow {MQ}  = 0 \Leftrightarrow MP \bot MQ\)

\( \Rightarrow \) Tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính PQ

+ Nếu M trùng với P hoặc Q thì hiển nhiên M thuộc đường tròn đường kính PQ

Vậy M luôn thuộc đường tròn đường kính PQ cố định

Bài 82 trang 108 SBT Toán 10 - Cánh Diều

Cho tam giác ABC và đường thẳng d không có điểm chung với bất kì cạnh nào của tam giác. M là điểm thay đổi trên đường thẳng d. Xác định vị trí của M sao cho biểu thức \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải:

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Khi đó \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \)

Ta có: \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GC} } \right|\)

                                  \( = \left| {3\overrightarrow {MG}  + \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} } \right)} \right| = 3\left| {\overrightarrow {MG} } \right|\)\( \ge 3HG\) (với H là hình chiếu của G trên d)

Vậy với M là hình chiếu của G trên đường thẳng d thì biểu thức \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất

 Sachbaitap.com