Giải SBT Toán 10 trang 17, 18 Cánh Diều tập 2

Bài 38 trang 17 SBT Toán 10 - Cánh Diều

Khi đi từ nhà đến trường, bạn Thảo muốn đi qua hiệu sách. Biết rằng, có 3 con đường từ nhà bạn Thảo đến hiệu sách và 2 con đường từ hiệu sách đến trường. Bạn Thảo có bao nhiêu cách chọn đường đi từ nhà đến trường, qua hiệu sách?

A. 3.                            B. 6.                            C. 5.                            D. 2

Phương pháp:

Hành động được thực hiện theo 2 bước liên tiếp

Bước 1: Tính số cách chọn con đường đi từ nhà bạn Thảo đến hiệu sách

Bước 2: Tính số cách chọn con đường đi từ hiệu sách đến trường

Bước 3: Áp dụng quy tắc nhân để tính số cách chọn thỏa mãn

Lời giải:

Đáp án đúng là B

Việc chọn con đường đi từ nhà đến trường của bạn Thảo là thực hiện hai hành động liên tiếp: chọn một con đường đi từ nhà đến hiệu sách, sau đó chọn một con đường đi từ hiệu sách đến trường.

Bạn Thảo có 3 cách chọn một con đường đi từ nhà đến hiệu sách.

Với mỗi cách chọn một con đường đi từ nhà đến hiệu sách, bạn Thảo có 2 cách chọn một con đường đi từ hiệu sách đến trường.

Vậy theo quy tắc nhân, bạn Thảo có tất cả 3.2 = 6 cách chọn đường đi từ nhà đến trường, qua hiệu sách.

Do đó ta chọn phương án B.

Bài 39 trang 17 SBT Toán 10 - Cánh Diều

Bạn Huy cần đi từ nhà đến một hiệu sách. Biết rằng, từ nhà bạn Huy có hai hướng đi: theo hướng đi thứ nhất có 2 hiệu sách, theo hướng đi thứ hai có 3 hiệu sách. Bạn Huy có bao nhiêu cách chọn một hiệu sách để đến?

A. 3                             B. 6                             C. 5                             D. 2

Phương pháp:

Hành động được thực hiện theo 1 bước duy nhất (các cách chọn độc lập với nhau) nên áp dụng quy tắc cộng

Lời giải:

Đáp án đúng là C

Nếu chọn theo hướng đi thứ nhất thì bạn Huy có 2 cách chọn một hiệu sách.

Nếu chọn theo hướng đi thứ hai thì bạn Huy có 3 cách chọn một hiệu sách.

Vậy theo quy tắc cộng, bạn Huy có tất cả 2 + 3 = 5 cách chọn một hiệu sách để đến.

Do đó ta chọn phương án C.

Bài 40 trang 17 SBT Toán 10 - Cánh Diều 

Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?

A. \(C_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!}}\) với k, n là các số tự nhiên, \(0 \le k \le n\)

B. \(A_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!}}\) với k, n là các số tự nhiên, \(1 \le k \le n\)

C. \({P_n} = n!\) với n là số nguyên dương

D. \({(a - b)^5} = {a^5} - 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} - 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} - {b^5}\)

Phương pháp:

Áp dụng các công thức hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, khai triển \({(a - b)^5}\) để tìm câu đúng

Lời giải:

Đáp án đúng là A

Do đó phương án B đúng.

⦁ P_n = n! với n là số nguyên dương.

Do đó phương án C đúng.

⦁ Công thức khai triển nhị thức Newton của biểu thức (a – b)⁵ là:

(a – b)⁵ = a⁵ – 5a⁴b + 10a³b² – 10a²b³ + 5ab⁴ – b⁵.

Do đó phương án D đúng.

Vậy ta chọn phương án A.

Bài 41 trang 17 SBT Toán 10 - Cánh Diều

Cho 20 điểm phân biệt và không có ba điểm nào thẳng hàng. Lập được bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh là 3 điểm trong 20 điểm đã cho?

A. 1 140                      B. 6                             C. 6 840                      D. 8 000

Phương pháp:

Do không có 3 điểm nào thẳng hàng nên lấy 3 điểm bất kì trong tổng số các điểm đã cho lập được một tam giác. Do đó ta áp dụng tổ hợp

Lời giải:

a) Nếu hai học sinh được chọn khác lớp thì tức là một học sinh được chọn thuộc lớp 11A và học sinh được chọn còn lại thuộc lớp 12A.

Chọn một học sinh thuộc lớp 11A thì có 34 cách chọn.

Chọn một học sinh thuộc lớp 12A thì có 36 cách chọn.

Theo quy tắc nhân, nếu hai học sinh được chọn khác lớp thì nhà trường có 34.36 = 1224 cách chọn.

Vậy ta chọn phương án B.

b) Nếu hai học sinh được chọn cùng lớp thì ta sẽ có hai trường hợp sau:

Trường hợp 1: Hai học sinh được chọn thuộc lớp 11A.

Mỗi cách chọn 2 học sinh trong số 34 học sinh của lớp 11A là một tổ hợp chập 2 của 34.

Theo quy tắc cộng, nếu hai học sinh được chọn cùng lớp thì nhà trường có 561 + 630 = 1191 cách chọn.

Vậy ta chọn phương án A.

Bài 42 trang 17 SBT Toán 10 - Cánh Diều

Một trường trung học phổ thông được cử hai học sinh đi dự trại hè thành phố. Nhà trường quyết định chọn hai học sinh từ lớp 11A và lớp 12A. Biết rằng lớp 11A có 34 học sinh và lớp 12A có 36 học sinh. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn nếu:

a) Hai học sinh được chọn khác lớp?

A. 70.                          B. 1 224.                     C. 34.                          D. 36.

b) Hai học sinh được chọn cùng lớp?

A. 1 191.                     B. 34.                          C. 36.                          D. 1 224.

Phương pháp:

Áp dụng quy tắc cộng/nhân và tổ hợp

Bước 1: Tính số cách chọn trong đó 1 HS ở lớp 11A và 1 HS ở lớp 12A

Bước 2: Tính số cách chọn trong đó có 2 trường hợp: 2 HS ở lớp 11A hoặc 2 HS ở lớp 12A

Lời giải:

a) Nếu hai học sinh được chọn khác lớp thì tức là một học sinh được chọn thuộc lớp 11A và học sinh được chọn còn lại thuộc lớp 12A.

Chọn một học sinh thuộc lớp 11A thì có 34 cách chọn.

Chọn một học sinh thuộc lớp 12A thì có 36 cách chọn.

Theo quy tắc nhân, nếu hai học sinh được chọn khác lớp thì nhà trường có 34.36 = 1224 cách chọn.

-> Chọn B

b) Nếu hai học sinh được chọn cùng lớp thì ta sẽ có hai trường hợp sau:

Trường hợp 1: Hai học sinh được chọn thuộc lớp 11A.

Mỗi cách chọn 2 học sinh trong số 34 học sinh của lớp 11A là một tổ hợp chập 2 của 34.

Số cách chọn 2 học sinh của lớp 11A là:

Trường hợp 2: Hai học sinh được chọn thuộc lớp 12A.

Mỗi cách chọn 2 học sinh trong số 36 học sinh của lớp 12A là một tổ hợp chập 2 của 36.

Số cách chọn 2 học sinh của lớp 12A là:

Theo quy tắc cộng, nếu hai học sinh được chọn cùng lớp thì nhà trường có 561 + 630 = 1191 cách chọn.

-> Chọn A

Bài 43 trang 17 SBT Toán 10 - Cánh Diều

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, lập được bao nhiêu số gồm bốn chữ số sao cho chữ số hàng nghìn lớn hơn chữ số hàng trăm, chữ số hàng trăm lớn hơn chữ số hàng chục, chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị?

A. 840                         B. 5 040                      C. 35                           D. 2 401

Phương pháp:

Mỗi cách chọn 4 chữ số trong số các chữ số từ 1 đến 7 chỉ có 1 cách xếp theo thứ tự giảm dần từ hàng nghìn đến hàng đơn vị để tạo thành số thỏa mãn yêu cầu bài toán. Do đó ta áp dụng tổ hợp (chọn ra 4 chữ số bất kì và chỉ có 1 cách sắp thứ tự)

Lời giải:

Với mỗi số có bốn chữ số được lập ra từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 thì luôn có duy nhất 1 cách sắp xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Mỗi cách chọn một số có bốn chữ số thỏa mãn yêu cầu bài toán từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 là một tổ hợp chập 4 của 7.

Số cách chọn một số có bốn chữ số thỏa mãn yêu cầu bài toán là: \(C_7^4 = 35\)

Vậy có 35 số thỏa mãn yêu cầu bài toán

-> Chọn C

Bài 44 trang 18 SBT Toán 10 - Cánh Diều

Khai triển các biểu thức sau: 

a) \({(x - 2y)^4}\)                                            b) \({( - 3x - y)^5}\)

Phương pháp:

a) Áp dụng công thức khai triển: \({(a - b)^4} = {a^4} - 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} - 4a{b^3} + {b^4}\) với \(a = x,b = 2y\)

b) Áp dụng công thức khai triển: \({(a - b)^5} = {a^5} - 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} - 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} - {b^5}\) với \(a =  - 3x,b = y\)

Lời giải:

a) \({(x - 2y)^4} = {x^4} - 4{x^3}.2y + 6{x^2}.{(2y)^2} - 4x.{(2y)^3} + {(2y)^4}\)\( = {x^4} - 8{x^3}y + 24{x^2}{y^2} - 32x{y^3} + 16{y^4}\)

b) \({( - 3x - y)^5} = {( - 3x)^5} - 5.{( - 3x)^4}y + 10.{( - 3x)^3}.{y^2} - 10.{( - 3x)^2}.{y^3} + 5.( - 3x).{y^4} - {y^5}\)

                   \( =  - 243{x^5} - 405{x^4}y - 270{x^3}{y^2} - 90{x^2}{y^3} - 15x{y^4} - {y^5}\)

Bài 45 trang 18 SBT Toán 10 - Cánh Diều

Xác định hệ số của \({x^3}\) trong khai triển biểu thức \({(5x - 1)^4}\)

Phương pháp:

Áp dụng công thức khai triển: \({(a - b)^4} = {a^4} - 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} - 4a{b^3} + {b^4}\) với \(a = 5x,b = 1\)

Lời giải:

Ta có: \({(5x - 1)^4} = {(5x)^4} - 4.{(5x)^3}.1 + 6.{(5x)^2}{.1^2} - 4.5x{.1^3} + {1^4}\)\( = 625{x^4} - 500{x^3} + 150{x^2} - 20x + 1\)

Số hạng chứa \({x^3}\) trong khai triển biểu thức \({(5x - 1)^4}\) là \( - 500{x^3}\)

Vậy hệ số của \({x^3}\) trong khai triển biểu thức \({(5x - 1)^4}\) là –500 

Bài 46 trang 18 SBT Toán 10 - Cánh Diều

Xác định hệ số của \({x^4}\) trong khai triển biểu thức \({(2x + 3)^5}\)

Phương pháp:

Áp dụng công thức khai triển: \({(a + b)^5} = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}\) với \(a = 2x,b = 3\)

Lời giải:

Ta có: \({(2x + 3)^5} = {(2x)^5} + 5.{(2x)^4}.3 + 10.{(2x)^3}{.3^2} + 10.{(2x)^2}{.3^3} + 5.2x{.3^4} + {3^5}\)

                      \( = 32{x^5} + 240{x^4} + 720{x^3} + 1080{x^2} + 810x + 243\)

Số hạng chứa \({x^4}\) trong khai triển biểu thức \({(2x + 3)^5}\) là \(240{x^4}\)

Vậy hệ số của \({x^4}\) trong khai triển biểu thức \({(2x + 3)^5}\) là 240

Bài 47 trang 18 SBT Toán 10 - Cánh Diều

Các bạn lớp 10A lập kế hoạch đi du lịch chỉ một trong hai thành phố là thành phố M hoặc thành phố N. Vì đi trong ngày nên các bạn cần lập danh sách 4 địa điểm tham quan và thứ tự đi các địa điểm đó từ trước. Biết rằng, các bạn liệt kê ra 10 địa điểm có thể đi ở thành phố M và 4 địa điểm có thể đi ở thành phố N. Các bạn lớp 10A có bao nhiêu cách lập một danh sách các địa điểm để đi du lịch?

Lời giải:

Trường hợp 1: Lớp 10A đi thành phố M.

Mỗi cách chọn và xếp thứ tự 4 địa điểm tham quan nếu lớp 10A đi thành phố M là một chỉnh hợp chập 4 của 10.

Số cách chọn và xếp thứ tự 4 địa điểm tham quan nếu lớp 10A đi thành phố M là: \(A_{10}^4 = 5040\) cách chọn

Trường hợp 2: Lớp 10A đi thành phố N.

Vì thành phố N chỉ có 4 địa điểm tham quan, nên mỗi cách xếp thứ tự vị trí cho 4 địa điểm đó là một hoán vị của 4 phần tử.

Số cách xếp thứ tự 4 địa điểm tham quan là: \({P_4} = 4! = 24\) cách chọn

Theo quy tắc cộng, lớp 10A có tất cả 5 040 + 24 = 5 064 cách lập một danh sách các địa điểm để tham quan.

Bài 48 trang 18 SBT Toán 10 - Cánh Diều

Giải bóng chuyền gồm 9 đội tham dự, trong đó có 3 đội của nước X. Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để xếp các đội vào 3 bảng A, B, C và mỗi bảng có 3 đội. Tính số cách xếp sao cho 3 đội bóng của nước X ở 3 bảng khác nhau.

Phương pháp:

Hành động được thực hiện theo các bước liên tiếp

Bước 1: Tính số cách chọn 3 đội vào bảng A (trong đó chọn 1 đội của nước X)

Bước 2: Tính số cách chọn 3 đội trong 6 đội còn lại vào bảng B, trong đó chọn 1 đội của nước X trong 2 đội còn lại của nước X (3 đội cuối cùng hiển nhiên được xếp vào bảng C)

Bước 3: Áp dụng quy tắc nhân để tính số cách chọn thỏa mãn

Lời giải:

Theo đề bài, 9 đội tham dự có 3 đội của nước X, 6 đội của các nước khác

+) Số cách chọn 3 đội xếp vào bảng A, trong đó có 1 đội của nước X là: \(C_3^1.C_6^2\) = 45 cách chọn

+) Số cách chọn 3 đội trong 6 đội còn lại xếp vào bảng B, trong đó có 1 đội của nước X là: \(C_2^1.C_4^2 = 12\)cách chọn 

+) Hiển nhiên 3 đội cuối cùng được xếp vào bảng B

Vậy số cách xếp sao cho 3 đội bóng của nước X ở 3 bảng khác nhau là: 45.12 = 540 cách xếp thỏa mãn

Bài 49 trang 18 SBT Toán 10 - Cánh Diều

Một đề thi học sinh giỏi lớp 10 môn Toán gồm 5 câu được chọn từ 15 câu thông hiểu, 10 câu vận dụng thấp và 5 câu vận dụng cao. Một đề thi được gọi là tốt nếu trong đề thi có cả ba loại mức độ, đồng thời số câu thông hiểu không ít hơn 2. Hỏi có thể lập được bao nhiêu đề thi tốt?

Lời giải:

Vì đề thi có số câu thông hiểu không ít hơn 2 và có đủ 3 mức độ nên xảy ra các trường hợp sau:

Trường hợp 1: Đề thi có 2 câu thông hiểu, 1 câu vận dụng thấp và 2 câu vận dụng cao.

Khi đó ta có \(C_{15}^2.C_{10}^1.C_5^2 = 10500\) cách chọn đề

Trường hợp 2: Đề thi có 2 câu thông hiểu, 2 câu vận dụng thấp và 1 câu vận dụng cao.

Khi đó ta có \(C_{15}^2.C_{10}^2.C_5^1 = 23625\) cách chọn đề

Trường hợp 3: Đề thi có 3 câu thông hiểu, 1 câu vận dụng thấp và 1 câu vận dụng cao.

Khi đó ta có \(C_{15}^3.C_{10}^1.C_5^1 = 22750\) cách chọn đề

Vậy số đề thi tốt có thể chọn được là: 22 750 + 23 625 + 10 500 = 56 875 đề

Bài 50 trang 18 SBT Toán 10 - Cánh Diều

Trong một bài thi bằng hình thức trắc nghiệm có 50 câu hỏi, mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời A, B, C, D. Mỗi câu trả lời đúng được cộng 0,2 điểm và mỗi câu trả lời sai bị trừ đi 0,1 điểm. Nếu thí sinh chọn ngẫu nhiên đáp án của tất cả 50 câu hỏi thì số khả năng đạt 9,4 điểm ở bài thi trên là bao nhiêu?

Lời giải:

Gọi x là số câu trả lời đúng (x > 0)

Suy ra 50 – x là số câu trả lời sai

Số điểm được cộng khi trả lời đúng x câu là: 0,2.x

Số điểm bị trừ khi trả lời sai 50 – x câu là: 0,1.(50 – x)

Ta có số điểm của thí sinh là 9,4

Suy ra 0,2.x – 0,1.(50 – x) = 9,4 \( \Leftrightarrow 0,2x - 5 + 0,1x = 9,4 \Leftrightarrow 0,3x = 14,4 \Leftrightarrow x = 48\)

Do đó thí sinh làm đúng 48 câu và làm sai 2 câu thì được 9,4 điểm.

Số cách chọn 48 câu trả lời đúng trong 50 câu của đề thi thì có \(C_{50}^{48}\) cách chọn

Ở mỗi câu, số cách chọn 1 phương án trả lời đúng là: 1 cách chọn

Ở mỗi câu, số cách chọn 1 phương án trả lời sai trong 3 phương án sai là: 3 cách chọn

Vì mỗi câu hỏi có 1 phương án đúng và 3 phương án sai nên số khả năng đạt được 9,4 điểm ở bài thi trên là: \(C_{50}^{48}{.1.3^2} = 11025\)

Sachbaitap.com