Giải SBT Toán 10 trang 19, 20, 21, 22, 23 Chân trời sáng tạo tập 2

A. TRẮC NGHIỆM

Bài 1 trang 19 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Tam thức bậc hai nào có biệt thức \(\Delta  = 1\) và hai nghiệm là:\({x_1} = \frac{3}{2}\) và \({x_2} = \frac{7}{4}\)?

A. \(8{x^2} - 26x + 21\)                                 B. \(4{x^2} - 13x + \frac{{21}}{2}\)

C. \(4{x^2} + 4x - 15\)                                   D. \(2{x^2} - 7x + 6\)

Lời giải:

Xét đáp án A có \(\Delta  = {b^2} - 4ac = {\left( { - 26} \right)^2} - 4.8.21 = 4\) (loại)

Xét đáp án B có \(\Delta  = {b^2} - 4ac = {\left( { - 13} \right)^2} - 4.4.\frac{{21}}{2} = 1\) và có nghiệm là \({x_1} = \frac{3}{2}\) và \({x_2} = \frac{7}{4}\)

Chọn B. \(4{x^2} - 13x + \frac{{21}}{2}\)

Bài 2 trang 19 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Tam thức bậc hai nào dương với mọi \(x \in \mathbb{R}\)?

A. \(2{x^2} - 4x + 2\)                                     B. \(3{x^2} + 6x + 2\)

C. \( - {x^2} + 2x + 3\)                                   D. \(5{x^2} - 3x + 1\)

Lời giải:

Tam thức bậc hai \(a{x^2} + bx + c\) dương với mọi \(x \in \mathbb{R}\) _nếu \(\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta  = {b^2} - 4ac < 0\end{array} \right.\)

_{Ta loại đáp án C vì có} \(a =  - 1 < 0\)

_{Xét đáp án A có} \(\Delta  = {b^2} - 4ac = {\left( { - 4} \right)^2} - 4.2.2 = 0\)    _(loại)

_{Xét đáp án B có} \(\Delta  = {b^2} - 4ac = {6^2} - 4.3.2 = 12 > 0\)       _(loại)

_Chọn D. \(5{x^2} - 3x + 1\)

Bài 3 trang 19 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Khẳng định nào sau đây đúng với tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = 10{x^2} - 3x - 4\)?

A. \(f\left( x \right) > 0\) với mọi x không thuộc khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\)

B. \(f\left( x \right) < 0\) với mọi x thuộc khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\)

C. \(f\left( x \right) \ge 0\) với mọi x thuộc khoảng \(\left( { - \frac{1}{2};\frac{5}{4}} \right)\)

D. Các khẳng định trên đều sai

Lời giải:

Tam thức \(f\left( x \right) = 10{x^2} - 3x - 4\) có \(a = 10 > 0\) và hai nghiệm \({x_1} =  - \frac{1}{2};{x_2} = \frac{4}{5}\)

Nên hàm số dương khi \(\left( { - \infty ; - \frac{1}{2}} \right) \cup \left( {\frac{4}{5}; + \infty } \right)\) và âm khi \(\left( { - \frac{1}{2};\frac{4}{5}} \right)\)

Chọn  D

Bài 4 trang 19 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Trong trường hợp nào tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) có \(\Delta  > 0\)  và \(a < 0\)?

Lời giải:

Hàm số có \(a < 0\) là hàm số có đồ thị quay bề lõm về phía dưới và \(\Delta  > 0\) khi và chỉ khi hàm số có hai nghiệm phân biệt tương đương cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt

Chọn B.

Bài 5 trang 20 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Cho đồ thị của hàm số bậc hai \(y = f\left( x \right)\) như hình 1. Tập nghiệm của bất phương trình \(f\left( x \right) \ge 0\) là:

A. \(\left( {1;2} \right)\)                                                      B. \(\left[ {1;2} \right]\)

C. \(\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\)                                      D. \(\left( { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\)

Lời giải:

Tập nghiệm của bất phương trình \(f\left( x \right) \ge 0\)  là khoảng x mà có phần đồ thị nằm trên trục hoành (kể cả điểm thuộc trục hoành)

Chọn D. \(\left( { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\)

Bài 6 trang 20 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Bất phương trình nào có tập nghiệm là \(\left( {2;5} \right)\)?

A. \({x^2} - 7x + 10 > 0\)                                                   B. \({x^2} - 7x + 10 < 0\)

C. \({x^2} + 13x - 30 > 0\)                                       D. \({x^2} + 13x - 30 < 0\)

Lời giải:

+) Tam thức \({x^2} - 7x + 10\) có \(a = 1 > 0\) và hai nghiệm \({x_1} = 2;{x_2} = 5\)

Suy ra tam thức dương khi \(x \in \left( { - \infty ;2} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)\), âm trongg khoảng  \(\left( {2;5} \right)\)

Tập nghiệm của BPT \({x^2} - 7x + 10 > 0\) là \(\left( { - \infty ;2} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)\)

Tập nghiệm của BPT \({x^2} - 7x + 10 < 0\) là \(\left( {2;5} \right)\)

Chọn B.

+) Tam thức \({x^2} + 13x - 30\) có \(a = 1 > 0\) và hai nghiệm \({x_1} =  - 15;{x_2} = 2\)

Suy ra tam thức dương trong hai khoảng \(( - \infty ; - 15)\) và \((2; + \infty )\), âm trong khoảng \(\left( { - 15;2} \right)\)     

Tập nghiệm của BPT \({x^2} + 13x - 30 > 0\) là \(( - \infty ; - 15) \cup \left( {2; + \infty } \right)\)

Tập nghiệm của BPT \({x^2} + 13x - 30 < 0\) là \(\left( { - 15;2} \right)\)

Bài 7 trang 20 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Tập xác định của hàm số \(y = \frac{1}{{\sqrt {9{x^2} - 3x - 2} }} + \sqrt {3 - x} \)là:

A. \(\left( { - \infty ; - \frac{1}{3}} \right) \cup \left( {\frac{2}{3}; + \infty } \right)\)                                       

B. \(\left( { - \infty ; - \frac{1}{3}} \right) \cup \left( {\frac{2}{3};3} \right]\)

C. \(\left( { - \infty ; - \frac{1}{3}} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)                                   

D. \(\left( { - \frac{1}{3};3} \right]\)

Lời giải:

Hàm số xác định khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}9{x^2} - 3x - 2 > 0\\3 - x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x <  - \frac{1}{3}\\x > \frac{2}{3}\end{array} \right.\\x \le 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x <  - \frac{1}{3}\\\frac{2}{3} < x \le 3\end{array} \right.\)

Vậy tập xác định là \(\left( { - \infty ; - \frac{1}{3}} \right) \cup \left( {\frac{2}{3};3} \right]\)

Chọn B.

Bài 8 trang 20 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Với giá trị nào của tham số m thì phương trình \(\left( {2m + 6} \right){x^2} + 4mx + 3 = 0\) có hai nghiệm phân biệt?

A. \(m <  - \frac{3}{2}\) hoặc \(m > 3\)                                        B. \( - \frac{3}{2} < m < 3\)

C. \(m <  - 3\) hoặc \( - 3 < m <  - \frac{3}{2}\)hoặc \(m > 3\)      D. \( - 3 < m <  - \frac{3}{2}\)hoặc \(m > 3\)

Lời giải:

Phương trình \(\left( {2m + 6} \right){x^2} + 4mx + 3 = 0\) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

\(\left\{ \begin{array}{l}2m + 6 \ne 0\\\Delta ' = {\left( {2m} \right)^2} - 3\left( {2m + 6} \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne  - 3\\4{m^2} - 6m - 18 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne  - 3\\\left[ \begin{array}{l}m <  - \frac{3}{2}\\m > 3\end{array} \right.\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow m \in ( - \infty ;\frac{{ - 3}}{2}) \cup \left( {3; + \infty } \right){\rm{\backslash }}\{  - 3\} \)

Hay \(m \in ( - \infty ; - 3) \cup ( - 3;\frac{{ - 3}}{2}) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)

Chọn C.

Bài 9 trang 20 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Giá trị nào là nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} + x + 11}  = \sqrt { - 2{x^2} - 13x + 16} \)?

A. \(x =  - 5\)                                                   B. \(x = \frac{1}{3}\)

C. Cả hai câu A, B đều đúng                D. Cả hai câu A, B đều sai

Lời giải:

Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được:

          \(\begin{array}{l}{x^2} + x + 11 =  - 2{x^2} - 13x + 16\\ \Rightarrow 3{x^2} + 14x - 5 = 0\end{array}\)

         \( \Rightarrow x =  - 5\) hoặc \(x = \frac{1}{3}\)

Thay hai giá trị trên vào phương trình ban đầu ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn

Chọn C.      

Bài 10 trang 20 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Khẳng định nào đúng với phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 3x - 1}  = \sqrt {3{x^2} - 2x - 13} \)

A. Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu

B. Phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu

C. Phương trình có một nghiệm

D. Phương trình vô nghiệm

Lời giải:

Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta có:

          \(\begin{array}{l}2{x^2} - 3x - 1 = 3{x^2} - 2x - 13\\ \Rightarrow {x^2} + x - 12 = 0\end{array}\)

         \( \Rightarrow x =  - 4\) hoặc \(x = 3\)

Thay hai giá trị trên vào phương trình ban đầu ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn

Chọn B.

Bài 11 trang 21 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Lời giải:

Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta có:

          \(\begin{array}{l}5{x^2} + 27x + 36 = 4{x^2} + 20x + 25\\ \Rightarrow {x^2} + 7x + 11 = 0\end{array}\)

         \( \Rightarrow x = \frac{{ - 7 + \sqrt 5 }}{2}\) hoặc \(x = \frac{{ - 7 - \sqrt 5 }}{2}\)

Thay hai giá trị trên vào phương trình ban đầu ta thấy chỉ có \(x = \frac{{ - 7 + \sqrt 5 }}{2}\) thỏa mãn

Chọn  A.

Bài 12 trang 21 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Cho đồ thị của hai hàm số bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) và \(g\left( x \right) = d{x^2} + ex + h\) như hình 2. Khẳng định nào đúng với phương trình \(\sqrt {a{x^2} + bx + c}  = \sqrt {d{x^2} + ex + h} \)?

A. Phương trình có hai nghiệm phân biệt là \(x = 1\) và \(x = 6\)

B. Phương trình có một nghiệm là \(x = 1\)

C. Phương trình có một nghiệm là \(x = 6\)

D. Phương trình vô nghiệm

Lời giải:

Xét phương trình: \(\sqrt {a{x^2} + bx + c}  = \sqrt {d{x^2} + ex + h} \)

Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta có:

          \(a{x^2} + bx + c = d{x^2} + ex + h\)

Hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 1 và 6

         \( \Rightarrow x = 1\) hoặc \(x = 6\)

Dễ thấy tại \(x = 1\) thì f(x) và g(x) đều dương, còn tại x =6 thì f(x) và g(x) đều âm.

Do đó chỉ có \(x = 1\) là nghiệm của PT ban đầu.

Chọn B.

B. TỰ LUẬN

Bài 1 trang 21 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Dựa vào đồ thị của hàm số bậc hai \(y = f\left( x \right)\) sau đây, hãy xét dấu của tam thức bậc hai

Lời giải:

a) \(f\left( x \right) > 0\) khi và chỉ khi \(x > 3\) và \(x < \frac{1}{2}\)_{, và} \(f\left( x \right) < 0\) khi và chỉ khi \(\frac{1}{2} < x < 3\)

Vậy tam thức mang dấu dương khi \(x \in \left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\) và âm khi \(x \in \left( {\frac{1}{2};3} \right)\)

b) \(f\left( x \right) > 0\) khi và chỉ khi \( - 3 < x < 5\) _và \(f\left( x \right) < 0\) khi và chỉ khi \(x > 5\) và \(x <  - 3\)

Vậy tam thức mang dấu dương khi \(x \in \left( { - 3;5} \right)\) và âm khi \(x \in \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)\)

c) \(f\left( x \right) > 0\) khi và chỉ khi \(x \ne 3\)

Vậy tam thức mang dấu dương khi \(x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\)

d) \(f\left( x \right) < 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Vậy tam thức mang dấu âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Bài 2 trang 21 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Xét dấu của các tam thức bậc hai sau:

a) \(f\left( x \right) =  - 7{x^2} + 44x - 45\)                       b) \(f\left( x \right) = 4{x^2} + 36x + 81\)

c) \(f\left( x \right) = 9{x^2} - 6x + 3\)                                        d) \(f\left( x \right) =  - 9{x^2} + 30x - 25\)

e) \(f\left( x \right) =  - {x^2} - 4x + 3\)                                       g) \(f\left( x \right) =  - 4{x^2} + 8x - 7\)

Lời giải:

a) \(f\left( x \right) =  - 7{x^2} + 44x - 45\) có \(\Delta  = 676 > 0\), hai nghiệm \({x_1} = \frac{9}{7};{x_2} = 5\) và có \(a =  - 7 < 0\)

Ta có bảng xét dấu \(f\left( x \right)\) như sau:

Vậy \(f\left( x \right)\) dương trong khoảng \(\left( {\frac{9}{7};5} \right)\) và âm trong khoảng \(\left( { - \infty ;\frac{9}{7}} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)\)

b) \(f\left( x \right) = 4{x^2} + 36x + 81\) có \(\Delta  = 0\), nghiệm kép \({x_1} = {x_2} =  - \frac{9}{2}\) và có \(a = 4 > 0\)

nên \(f\left( x \right)\) luôn dương với \(x \ne  - \frac{9}{2}\)

Vậy \(f\left( x \right)\) dương trong khoảng \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{9}{2}} \right\}\)

c) \(f\left( x \right) = 9{x^2} - 6x + 3\) có \(\Delta  =  - 72 < 0\) và\(a = 9 > 0\)

nên \(f\left( x \right)\) luôn dương với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Vậy \(f\left( x \right)\) dương với mọi x

d) \(f\left( x \right) =  - 9{x^2} + 30x - 25\)  có \(\Delta  = 0\), nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = \frac{5}{3}\) và có \(a =  - 9 < 0\)

nên \(f\left( x \right)\) luôn âm với \(x \ne \frac{5}{3}\)

Vậy \(f\left( x \right)\) âm trong khoảng \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{5}{3}} \right\}\)

e) \(f\left( x \right) = {x^2} - 4x + 3\) có \(\Delta  = 4 > 0\), hai nghiệm \({x_1} = 1;{x_2} = 3\) và có \(a = 1 > 0\)

Ta có bảng xét dấu \(f\left( x \right)\) như sau:

Vậy \(f\left( x \right)\) dương trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\) và âm trong khoảng \(\left( {1;3} \right)\)

g) \(f\left( x \right) =  - 4{x^2} + 8x - 7\) có có \(\Delta  =  - 48 < 0\) và\(a =  - 4 < 0\)

nên \(f\left( x \right)\) luôn âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Bài 3 trang 21 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Giải các phương trình bậc hai sau:

a) \({x^2} - 10x + 24 \ge 0\)                                     b) \( - 4{x^2} + 28x - 49 \le 0\)

c) \({x^2} - 5x + 1 > 0\)                                            d) \(9{x^2} - 24x + 16 \le 0\)

e) \(15{x^2} - x - 2 < 0\)                                           g) \( - {x^2} + 8x - 17 > 0\)

h) \( - 25{x^2} + 10x - 1 < 0\)                                  i) \(4{x^2} + 4x + 7 \le 0\)

Lời giải:

a) Tam thức \({x^2} - 10x + 24\) có \(a = 1 > 0\) và hai nghiệm \({x_1} = 4;{x_2} = 6\)

Suy ra \({x^2} - 10x + 24 \ge 0\) khi và chỉ khi \(\left( { - \infty ;4} \right] \cup \left[ {6; + \infty } \right)\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( { - \infty ;4} \right] \cup \left[ {6; + \infty } \right)\)

b) Tam thức \( - 4{x^2} + 28x - 49\) có \(a =  - 4 < 0\) và nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = \frac{7}{2}\)

Suy ra \( - 4{x^2} + 28x - 49 \le 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\mathbb{R}\)

c) Tam thức \({x^2} - 5x + 1\) có \(a = 1 > 0\) và hai nghiệm \({x_1} = \frac{{5 - \sqrt {21} }}{2};{x_2} = \frac{{5 + \sqrt {21} }}{2}\)

Suy ra \({x^2} - 5x + 1 > 0\) khi và chỉ khi \(\left( { - \infty ;\frac{{5 - \sqrt {21} }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{5 + \sqrt {21} }}{2}; + \infty } \right)\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( { - \infty ;\frac{{5 - \sqrt {21} }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{5 + \sqrt {21} }}{2}; + \infty } \right)\)

d) Tam thức \(9{x^2} - 24x + 16\) có \(a = 9 > 0\) và nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = \frac{4}{3}\)

Do đó \(9{x^2} - 24x + 16 \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Suy ra \(9{x^2} - 24x + 16 \le 0\) có nghiệm khi \(9{x^2} - 24x + 16 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{4}{3}\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left\{ {\frac{4}{3}} \right\}\)

e) Tam thức \(15{x^2} - x - 2\) có \(a = 15 > 0\) và hai nghiệm \({x_1} =  - \frac{1}{3};{x_2} = \frac{2}{5}\)

Suy ra \(15{x^2} - x - 2 < 0\) khi và chỉ khi \(\left( { - \frac{1}{3};\frac{2}{5}} \right)\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( { - \frac{1}{3};\frac{2}{5}} \right)\)

g) Tam thức \( - {x^2} + 8x - 17\) có \(a =  - 1 < 0\) và \(\Delta  =  - 4 < 0\)

Do đó \( - {x^2} + 8x - 17 \le 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Suy ra không có giá trị x thỏa mãn bất phương trình \( - {x^2} + 8x - 17 > 0\)

Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm

h) Tam thức \( - 25{x^2} + 10x - 1\) có \(a =  - 25 < 0\) và nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = \frac{1}{5}\)

Do đó \( - {x^2} + 8x - 17 \le 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Suy ra \( - 25{x^2} + 10x - 1 < 0\) khi và chỉ khi \(x \ne \frac{1}{5}\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{1}{5}} \right\}\)

i) Tam thức \(4{x^2} + 4x + 7\) có \(a = 4 > 0\) và \(\Delta  =  - 96 < 0\)

Suy ra không có giá trị nào của x để \(4{x^2} + 4x + 7 \le 0\)

Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm

Bài 4 trang 22 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Dựa vào đồ thị của hàm số bậc hai được cho, hãy giải các bất phương trình sau:

Lời giải:

a) \(f\left( x \right) \ge 0\) khi và chỉ khi \(x \ge \frac{3}{2}\) và \(x \le 4\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left[ {\frac{3}{2};4} \right]\)

b) \(f\left( x \right) > 0\) khi và chỉ khi \(x <  - 1\) hoặc \(x > 3\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)

c) \(f\left( x \right) \le 0\) khi và chỉ khi \(x = 1\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left\{ 1 \right\}\)

d) \(f\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Tập nghiệm của bất phương trình \(f\left( x \right) < 0\) là \(\emptyset \)

e) \(f\left( x \right) < 0\) khi và chỉ khi \(x \ne 3\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\)

g) \(f\left( x \right) < 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Tập nghiệm của bất phương trình \(f\left( x \right) \le 0\) là \(\mathbb{R}\)

Bài 5 trang 22 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Giải các phương trình sau:

a) \(\sqrt {3{x^2} + 7x - 1}  = \sqrt {6{x^2} + 6x - 11} \)           b) \(\sqrt {{x^2} + 12x + 28}  = \sqrt {2{x^2} + 14x + 24} \)

c) \(\sqrt {2{x^2} - 12x - 14}  = \sqrt {5{x^2} - 26x - 6} \)                     d) \(\sqrt {11{x^2} - 43x + 25}  =  - 3x + 4\)

e) \(\sqrt { - 5{x^2} - x + 35}  = x + 5\)                                       g) \(\sqrt {11{x^2} - 64x + 97}  = 3x - 11\)

Lời giải:

a) Bình phương 2 vế của phương trình đã cho, ta được:

          \(\begin{array}{l}3{x^2} + 7x - 1 = 6{x^2} + 6x - 11\\ \Rightarrow 3{x^2} - x - 10 = 0\end{array}\)

         \( \Rightarrow x =  - \frac{5}{3}\) _hoặc \(x = 2\)

Thay lần lượt các giá trị vừa tìm được vào phương trình ban đầu ta thấy chỉ có \(x = 2\) thỏa mãn

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 2\)

b) Bình phương 2 vế của phương trình đã cho, ta được:

          \(\begin{array}{l}{x^2} + 12x + 28 = 2{x^2} + 14x + 24\\ \Rightarrow {x^2} + 2x - 4 = 0\end{array}\)

         \( \Rightarrow x =  - 1 - \sqrt 5 \) _hoặc \(x =  - 1 + \sqrt 5 \)

Thay lần lượt các giá trị vừa tìm được vào phương trình ban đầu ta thấy chỉ có \(x =  - 1 + \sqrt 5 \) thỏa mãn

Vậy nghiệm của phương trình là \(x =  - 1 + \sqrt 5 \)

c) Bình phương 2 vế của phương trình đã cho, ta được:

          \(\begin{array}{l}2{x^2} - 12x - 14 = 5{x^2} - 26x - 6\\ \Rightarrow 3{x^2} - 14x + 8 = 0\end{array}\)

         \( \Rightarrow x = \frac{2}{3}\) _hoặc \(x = 4\)

Thay lần lượt các giá trị vừa tìm được vào phương trình ban đầu ta thấy cả hai nghiệm đều không thỏa mãn

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

d) Bình phương 2 vế của phương trình đã cho, ta được:

          \(\begin{array}{l}11{x^2} - 43x + 25 = 9{x^2} - 24x + 16\\ \Rightarrow 2{x^2} - 19x + 9 = 0\end{array}\)

         \( \Rightarrow x = \frac{1}{2}\) _hoặc \(x = 9\)

Thay lần lượt các giá trị vừa tìm được vào phương trình ban đầu ta thấy chỉ có \(x = \frac{1}{2}\)  thỏa mãn

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{1}{2}\)

e) Bình phương 2 vế của phương trình đã cho, ta được:

          \(\begin{array}{l} - 5{x^2} - x + 35 = {x^2} + 10x + 25\\ \Rightarrow 6{x^2} + 11x - 10 = 0\end{array}\)

         \( \Rightarrow x =  - \frac{5}{2}\) _hoặc \(x = \frac{2}{3}\)

Thay lần lượt các giá trị vừa tìm được vào phương trình ban đầu ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn

Vậy phương trình có hai nghiệm là \(x =  - \frac{5}{2}\) _vả \(x = \frac{2}{3}\)

g) Bình phương 2 vế của phương trình đã cho, ta được:

          \(\begin{array}{l}11{x^2} - 64x + 97 = 9{x^2} - 66x + 121\\ \Rightarrow 2{x^2} + 2x - 64 = 0\end{array}\)

         \( \Rightarrow x =  - 4\) _hoặc \(x = 3\)

Thay lần lượt các giá trị vừa tìm được vào phương trình ban đầu ta thấy cả hai giá trị đều không thỏa mãn

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Bài 6 trang 22 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) \(y = \sqrt { - {x^2} + 6x - 2} \)                                      b) \(y = \frac{{2x}}{{x - 2}} + \sqrt { - {x^2} + 3x - 2} \)

Lời giải:

a) Hàm số xác định khi và chỉ khi \( - {x^2} + 6x - 2 \ge 0\) tức \(3 - \sqrt 7  \le x \le 3 + \sqrt 7 \)

Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \left[ {3 - \sqrt 7 ;3 + \sqrt 7 } \right]\)

b) Hàm số xác định khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l} - {x^2} + 3x - 2 \ge 0\\x - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \le x \le 2\\x \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 \le x < 2\) Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \left[ {1;2} \right)\)

Bài 7 trang 22 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Tìm các giá trị của tham số m để:

a) \(f\left( x \right) = \left( {m - 3} \right){x^2} + 2mx - m\) là một tam thức bậc hai âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

b) \(f\left( x \right) = \left( {m - 2} \right){x^2} + 2\left( {m + 3} \right)x + 5\left( {m - 3} \right)\) là một tam thức bậc hai có nghiệm

c) Phương trình \(2{x^2} + \left( {3m - 1} \right)x + 2\left( {m + 1} \right) = 0\) vô nghiệm

d) Bất phương trình \(2{x^2} + 2\left( {m - 3} \right)x + 3\left( {{m^2} - 3} \right) \ge 0\) có tập nghiệm là \(\mathbb{R}\)

Lời giải:

a) \(f\left( x \right) = \left( {m - 3} \right){x^2} + 2mx - m\) là một tam thức bậc hai âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' < 0\\a < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + m\left( {m - 3} \right) < 0\\m - 3 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{m^2} - 3m < 0\\m < 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < m < \frac{3}{2}\\m < 3\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow 0 < m < \frac{3}{2}\)

Vậy khi \(m \in \left( {0;\frac{3}{2}} \right)\) thì \(f\left( x \right) = \left( {m - 3} \right){x^2} + 2mx - m\) là một tam thức bậc hai âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

_b) \(f\left( x \right) = \left( {m - 2} \right){x^2} + 2\left( {m + 3} \right)x + 5\left( {m - 3} \right)\) là một tam thức bậc hai có nghiệm khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' \ge 0\\a \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m + 3} \right)^2} - 5\left( {m - 2} \right)\left( {m - 3} \right) \ge 0\\m - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4{m^2} + 31m - 21 \ge 0\\m \ne 2\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{4} \le m \le 7\\m \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ {\frac{3}{4};7} \right]\backslash \left\{ 2 \right\}\)

Vậy khi \(m \in \left[ {\frac{3}{4};7} \right]\backslash \left\{ 2 \right\}\) thì \(f\left( x \right) = \left( {m - 2} \right){x^2} + 2\left( {m + 3} \right)x + 5\left( {m - 3} \right)\) là một tam thức bậc hai có nghiệm

c) Phương trình \(2{x^2} + \left( {3m - 1} \right)x + 2\left( {m + 1} \right) = 0\) vô nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta  < 0\)

hay \({\left( {3m - 1} \right)^2} - 4.2.2\left( {m + 1} \right) < 0 \Leftrightarrow 9{m^2} - 22m - 15 < 0 \Leftrightarrow  - \frac{5}{9} < x < 3\)

Vậy khi \(m \in \left( { - \frac{5}{9};3} \right)\) thì phương trình \(2{x^2} + \left( {3m - 1} \right)x + 2\left( {m + 1} \right) = 0\) vô nghiệm

d) Bất phương trình \(2{x^2} + 2\left( {m - 3} \right)x + 3\left( {{m^2} - 3} \right) \ge 0\) có \(a = 2 > 0\) nên để bất phương trình có tập nghiệm trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(\Delta ' < 0\)

hay \({\left( {m - 3} \right)^2} - 2.3\left( {{m^2} - 3} \right) < 0 \Leftrightarrow  - 5{m^2} - 6m + 27 < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m <  - 3\\m > \frac{9}{5}\end{array} \right.\)

Vậy khi \(m \in ( - \infty ; - 3) \cup \left( {\frac{9}{5}; + \infty } \right)\) thì bất phương trình \(2{x^2} + 2\left( {m - 3} \right)x + 3\left( {{m^2} - 3} \right) \ge 0\) có tập nghiệm trên \(\mathbb{R}\)

Bài 8 trang 22 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Người ta thử nghiệm ném một quả bóng trên Mặt Trăng. Nếu quả bóng được ném lên từ độ cao \({h_0}\) (m) so với bề mặt của Mặt Trăng với vận tốc \({v_0}\) (m/s) thì độ cao của quả bóng sau t giây được cho bởi hàm số \(h\left( t \right) =  - \frac{1}{2}g{t^2} + {v_0}t + {h_0}\) với \(g = 1,625\)m/s² là gia tốc trọng trường của Mặt Trăng

a) Biết độ cao ban đầu của quả bóng vào các thời điểm 8 giây và 12 giây lần lượt là 30 m và 5 m, hãy tìm vận tốc ném; độ cao ban đầu của quả bóng và viết công thức \(h\left( t \right)\)

b) Quả bóng đạt độ cao trên 29 m trong bao nhiêu giây?

Lưu ý: Đáp số làm tròn đến hàng phần trăm.

Lời giải:

a) Tại t=8 thì h=30 và tại t=12 thì h=5 nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}30 =  - \frac{1}{2}.1,{625.8^2} + {v_0}.8 + {h_0}\\5 =  - \frac{1}{2}.1,{625.12^2} + {v_0}.12 + {h_0}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8{v_0} + {h_0} = 82\\12{v_0} + {h_0} = 122\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{v_0} = 10\\{h_0} = 2\end{array} \right.\)

Suy ra phương trình miêu tả độ cao của bóng so với mặt đất là \(h\left( t \right) =  - \frac{{13}}{{16}}{t^2} + 10t + 2\)

Vậy  \({h_{_0}}\) và \({v_0}\) _{lần lượt là 2 m và 10 m/s}

_{b) Chiều cao của quả bóng trên 4 m tương đương} \(h\left( t \right) > 29 \Leftrightarrow  - \frac{{13}}{{16}}{t^2} + 10t + 2 > 29\)

_{Giải bất phương trình ta có} \( - \frac{{13}}{{16}}{t^2} + 10t - 27 > 0 \Leftrightarrow 4 < t < \frac{{108}}{{13}}\)

Khoảng thời gian quả bóng ở độ cao trên 29m là: \(\frac{{108}}{{13}} - 4 = \frac{{56}}{{13}} \approx 4,31\) (giây)

Vậy bóng đạt độ cao trên 29 m trong khoảng thời gian gần bằng 4,31 giây

Bài 9 trang 23 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Một người phát cầu qua lưới từu độ cao \({y_0}\) mét, nghiệm một góc \(\alpha \) so với phương ngang với vận tốc đầu \({v_0}\)

Phương trình chuyển động của quả cầu là:

\(y = \frac{{ - g}}{{2v_0^2{{\cos }^2}\alpha }}{x^2} + \tan \left( \alpha  \right)x + {y_0}\) với\(g = 10\) m/s²

Viết phương trình chuyển động của quả cầu nếu \(\alpha  = 45^\circ ,{y_0} = 0,3\) m và \({v_0} = 7,67\) m/s

b) Để cầu qua được lưới bóng cao 1,5 m thì người phát cầu phải đứng cách lưới bao xa?

Lưu ý: Đáp số làm tròn đến hàng phần trăm.

Lời giải:

a) Thay các số đã biết vào phương trình chuyển động ta có :

          \(y = \frac{{ - 10}}{{2.7,{{67}^2}{{\cos }^2}45^\circ }}{x^2} + \left( {\tan 45^\circ } \right)x + 0,3 \simeq  - 0,17{x^2} + x + 0,3\)

b) Để cầu qua được lưới bóng cao 1,5 mét thì \(y > 1,5 \Leftrightarrow  - 0,17{x^2} + x + 0,3 > 1,5 \Leftrightarrow  - 0,17{x^2} + x +  - 1,2 > 0\)

Giải bất phương trình trên ta có tập nghiệm là \(\left( {1,68;4,2} \right)\)

Vậy người phát cầu phải đứng cách lưới khoảng 1,68 m đến 4,2 m

Bài 10 trang 23 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Cho tam giác ABC và ABD cùng vuông tại A như hình 3 có \(AB = x;BC = 5\) và \(BD = 6\)

a) Biểu diễn độ dài cạnh AC và AD theo x

b) Tìm x để chu vi của tam giác ABC là 12

c) Tìm x để \(AD = 2AC\)

Lời giải:

a) Áp dụng định lí pitago cho tam giác ABC ta có:

          \(AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}}  = \sqrt {{5^2} - {x^2}}  = \sqrt {25 - {x^2}} \)

Áp dụng định lí pitago cho tam giác ABD ta có:

          \(AD = \sqrt {B{D^2} - A{B^2}}  = \sqrt {{6^2} - {x^2}}  = \sqrt {36 - {x^2}} \)

b) Ta có: \(AB + AC + BC = 12\)

          \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow x + \sqrt {25 - {x^2}}  + 5 = 12\\ \Leftrightarrow \sqrt {25 - {x^2}}  = 7 - x\\ \Rightarrow 25 - {x^2} = 49 - 14x + {x^2}\\ \Rightarrow 2{x^2} - 14x + 24 = 0\end{array}\)

          \( \Rightarrow x = 3\) hoặc \(x = 4\)

Thay hai giá trị vừa tìm được vào phương trình ban đầu ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn

Vậy khi \(x = 3\) hoặc \(x = 4\) thì chu vi của tam giác ABC là 12

c) Ta có: \(AD = 2AC\)

          \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {36 - {x^2}}  = 2\sqrt {25 - {x^2}} \\ \Rightarrow 36 - {x^2} = 4\left( {25 - {x^2}} \right)\\ \Rightarrow 3{x^2} - 64 = 0\end{array}\)

          \( \Rightarrow x =  - \frac{{8\sqrt 3 }}{3}\) (loại vì \(x > 0\))  hoặc \(x = \frac{{8\sqrt 3 }}{3}\)

Thay \(x = \frac{{8\sqrt 3 }}{3}\) vào phương trình ban đầu ta thấy thỏa mãn

Vậy \(x = \frac{{8\sqrt 3 }}{3}\) thì \(AD = 2AC\

Sachbaitap.com