Giải SBT Toán 10 trang 21 Kết nối tri thức tập 2

Bài 6.28 trang 21 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Giải các phương trình sau:

a) \(\sqrt { - {x^2} + 77x - 212}  = \sqrt {{x^2} + x - 2} \)

b) \(\sqrt {{x^2} + 25x - 26}  = \sqrt {x - {x^2}} \)

c) \(\sqrt {4{x^2} + 8x - 37}  = \sqrt { - {x^2} - 2x + 3} \)

Lời giải:

a) \(\sqrt { - {x^2} + 77x - 212}  = \sqrt {{x^2} + x - 2} \) (1)

Bình phương 2 vế của (1) ta được:

\( - {x^2} + 77x - 212 = {x^2} + x - 2\) \( \Leftrightarrow 2{x^2} - 76x + 210 = 0\)\( \Leftrightarrow x = 3\) hoặc x = 35

+) Thay x = 3 vào PT (1): \(\sqrt { - {3^2} + 77.3 - 212}  = \sqrt {{3^2} + 3 - 2}  \Leftrightarrow \sqrt {10}  = \sqrt {10} \) , thỏa mãn

+) Thay x = 35 vào PT (1): \(\sqrt { - {{35}^2} + 77.35 - 212}  = \sqrt {{{35}^2} + 35 - 2}  \Leftrightarrow \sqrt {1258}  = \sqrt {1258} \), thỏa mãn

Vậy PT (1) có 2 nghiệm là x = 3; x = 35

b) \(\sqrt {{x^2} + 25x - 26}  = \sqrt {x - {x^2}} \) (2)

Bình phương 2 vế của (2) ta được:

\({x^2} + 25x - 26 = x - {x^2} \Leftrightarrow 2{x^2} + 24x - 26 = 0 \Leftrightarrow x =  - 13\) hoặc x = 1

+) Thay x = -13 vào PT (2): \(\sqrt {{{( - 13)}^2} + 25.( - 13) - 26}  = \sqrt {( - 13) - {{( - 13)}^2}}  \Leftrightarrow \sqrt { - 182}  = \sqrt { - 182} \), vô lí

+) Thay x = 1 vào PT (2): \(\sqrt {{1^2} + 25.1 - 26}  = \sqrt {1 - {1^2}}  \Leftrightarrow \sqrt 0  = \sqrt 0 \), thỏa mãn

Vậy PT (2) có nghiệm duy nhất x = 1

c) \(\sqrt {4{x^2} + 8x - 37}  = \sqrt { - {x^2} - 2x + 3} \) (3)

Bình phương 2 vế của (3) ta được:

\(4{x^2} + 8x - 37 =  - {x^2} - 2x + 3 \Leftrightarrow 5{x^2} + 10x - 40 = 0 \Leftrightarrow x =  - 4\) hoặc x = 2

+) Thay x = -4 vào PT (3): \(\sqrt {4.{{( - 4)}^2} + 8.( - 4) - 37}  = \sqrt { - {{( - 4)}^2} - 2.( - 4) + 3}  \Leftrightarrow \sqrt { - 5}  = \sqrt { - 5} \), vô lí

+) Thay x = 2 vào PT (3): \(\sqrt {{{4.2}^2} + 8.2 - 37}  = \sqrt { - {2^2} - 2.2 + 3}  \Leftrightarrow \sqrt { - 5}  = \sqrt { - 5} \), vô lí

Vậy PT (3) vô nghiệm

Bài 6.29 trang 21 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Giải các phương trình sau:

a) \(\sqrt {2{x^2} - 13x + 16}  = 6 - x\)   

b) \(\sqrt {3{x^2} - 33x + 55}  = x - 5\) 

c) \(\sqrt { - {x^2} + 3x + 1}  = x - 4\)

Phương pháp:

Giải phương trình dạng \(\sqrt {a{x^2} + bx + c}  = dx + e\) (1)

Bước 1: Bình phương 2 vế của (1) ta được PT \((a - {d^2}){x^2} + (b - 2de)x + (c - {e^2}) = 0\) (2)

Bước 2: Giải PT (2)

Bước 3: Thay các nghiệm vừa tìm được ở bước 2 vào vế phải của PT (1) để tìm ra các nghiệm thỏa mãn vế phải ≥ 0 rồi kết luận

Lời giải:

a) \(\sqrt {2{x^2} - 13x + 16}  = 6 - x\) (1)

Bình phương 2 vế của (1) ta được:

\(2{x^2} - 13x + 16 = {x^2} - 12x + 36 \Leftrightarrow {x^2} - x - 20 = 0 \Leftrightarrow x =  - 4\) hoặc x = 5

+) Thay x = -4 vào vế phải PT (1): 6- (-4) = 10 > 0

+) Thay x = 5 vào vế phải PT (1): 6 – 5 = 1 > 0

Vậy PT (1) có hai nghiệm phân biệt là x = -4; x = 5

b) \(\sqrt {3{x^2} - 33x + 55}  = x - 5\)         (2)

Bình phương 2 vế của (2) ta được:

\(3{x^2} - 33x + 55 = {x^2} - 10x + 25 \Leftrightarrow 2{x^2} - 23x + 30 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}\) hoặc x = 10

+) Thay \(x = \frac{3}{2}\) vào vế phải PT (2): \(\frac{3}{2} - 5 =  - \frac{7}{2} < 0\)

+) Thay x = 10 vào vế phải PT (2): 10 – 5 = 5 > 0

Vậy PT (2) có nghiệm duy nhất  x = 10

c) \(\sqrt { - {x^2} + 3x + 1}  = x - 4\) (3)

Bình phương 2 vế PT (3) ta được:

\( - {x^2} + 3x + 1 = {x^2} - 8x + 16 \Leftrightarrow 2{x^2} - 11x + 15 = 0\)\( \Leftrightarrow x = \frac{5}{2}\) hoặc x = 3

+) Thay \(x = \frac{5}{2}\) vào vế phải PT (3): \(\frac{5}{2} - 4 =  - \frac{3}{2} < 0\)

+) Thay x = 3 vào vế phải PT (3): 3 – 4 = -1 < 0

Vậy PT (3) vô nghiệm

Bài 6.30 trang 21 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Giải các phương trình sau:

a) \(\sqrt {2x - 3}  = x - 3\) 

b) \((x - 3)\sqrt {{x^2} + 4}  = {x^2} - 9\)

Lời giải:

a) \(\sqrt {2x - 3}  = x - 3\) (1)

Bình phương 2 vế của (1) ta được:

\(2x - 3 = {x^2} - 6x + 9 \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 12 = 0 \Leftrightarrow x = 2\) hoặc x = 6

+) Thay x = 2 vào vế phải PT (1): 2 – 3 = -1 < 0

+) Thay x = 5 vào vế phải PT (1): 6 – 3 = 3 > 0

Vậy PT (1) nghiệm duy nhất là x = 6

b) \((x - 3)\sqrt {{x^2} + 4}  = {x^2} - 9\) \( \Leftrightarrow (x - 3)\sqrt {{x^2} + 4}  - ({x^2} - 9) = 0 \Leftrightarrow (x - 3)\sqrt {{x^2} + 4}  - (x - 3)(x + 3) = 0\)

                                    \( \Leftrightarrow (x - 3)(\sqrt {{x^2} + 4}  - x - 3) = 0\)

TH1: \(x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3\)

TH2: \(\sqrt {{x^2} + 4}  - x - 3 = 0\) \(\sqrt {{x^2} + 4}  = x + 3\) (2)

Bình phương 2 vế của (2) ta được:

\({x^2} + 4 = {x^2} + 6x + 9 \Leftrightarrow 6x =  - 5 \Leftrightarrow x =  - \frac{5}{6}\)

+) Thay \(x =  - \frac{5}{6}\)  vào vế phải PT (2): \( - \frac{5}{6} + 3 = \frac{{13}}{6} > 0\)

Vậy PT đã cho có hai nghiệm phân biệt là \(x = 3;x =  - \frac{5}{6}\)

Bài 6.31 trang 21 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Tìm điều kiện của tham số m để phương trình sau có nghiệm:

\(\sqrt {2{x^2} + x + 1}  = \sqrt {{x^2} + mx + m - 1} \) (1)

Lời giải:

Tam thức bậc hai \(2{x^2} + x + 1\) có a = 2 > 0, ∆ = -7 < 0 nên \(2{x^2} + x + 1\) > 0 \(\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Rightarrow \) PT (1) xác định trên \(\mathbb{R}\)

Bình phương 2 vế của PT (1) ta thu được PT:  \({x^2} + (1 - m)x - m + 2 = 0\) (2)

Ta có: PT (1) có nghiệm khi và chỉ khi PT (2) có nghiệm

Tam thức bậc 2 \({x^2} + (1 - m)x - m + 2\) có ∆ = \({(1 - m)^2} - 4( - m + 2) = {m^2} + 2m - 7\)

PT (2) có nghiệm khi và chỉ khi ∆ ≥ 0 \( \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 7 \ge 0 \Leftrightarrow m \le  - 1 - 2\sqrt 2 \) hoặc \(m \ge  - 1 + 2\sqrt 2 \)

Vậy với \(m \in \left[ { - \infty ; - 1 - 2\sqrt 2 } \right] \cup \left[ { - 1 + 2\sqrt 2 ; + \infty } \right]\) thì PT (1) có nghiệm

Bài 6.32 trang 21 SBT Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức

Mặt cắt đứng của cột cây số trên quốc lộ có dạng nửa hình tròn ở phía trên và phía dưới có dạng hình chữ nhật (xem hình bên). Biết rằng đường kính của nửa hình tròn cũng là cạnh phía trên của hình chữ nhật và đường chéo của hình chữ nhật có độ dài 66 cm. Tìm kích thước của hình chữ nhật, biết rằng diện tích của phần nửa hình tròn bằng 0,3 lần diện tích của phần hình chữ nhật. Lấy \(\pi  = 3,14\) và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai.

Phương pháp:

Bước 1: Gọi x là đường kính của nửa hình tròn, biểu diễn diện tích S₁ của nửa hình tròn và diện tích S₂ của hình chữ nhật theo x

Bước 2: Sử dụng giả thiết S₁ = 0,3S₂, ta thu được PT bậc hai của x

Bước 3: Giải PT vừa tìm được, suy ra điều kiện của x. Kết luận.

Lời giải:

Gọi x (cm) (0 < x < 66) là đường kính của nửa hình tròn

\( \Rightarrow \) Kích thước còn lại của hình chữ nhật là y = \(\sqrt {{{66}^2} - {x^2}}  = \sqrt {4356 - {x^2}} \) (cm)

DIện tích của nửa hình tròn là: \({S_1} = \frac{1}{2}\pi .{\left( {\frac{x}{2}} \right)^2} = \frac{{3,14}}{8}{x^2}\) (cm²)

Diện tích hình chữ nhật là: \({S_2} = x\sqrt {4356 - {x^2}} \) (cm²)

Theo giả thiết, \({S_1} = 0,3{S_2} \Leftrightarrow \frac{{3,14}}{8}{x^2} = 0,3.x\sqrt {4356 - {x^2}} \)

 \( \Leftrightarrow \frac{{3,14}}{8}{x^2} - 0,3.x\sqrt {4356 - {x^2}}  = 0 \Leftrightarrow x\left( {\frac{{3,14}}{8}x - 0,3\sqrt {4356 - {x^2}} } \right)\) = 0

 \( \Leftrightarrow \frac{{3,14}}{8}x - 0,3\sqrt {4356 - {x^2}}  = 0\) (do x > 0) \( \Leftrightarrow \sqrt {4356 - {x^2}}  = \frac{{157}}{{120}}x\) (*)

Bình phương hai vế của (*) ta được: \(4356 - {x^2} = \frac{{24649}}{{14400}}{x^2} \Leftrightarrow {x^2} \approx 1606,35 \Leftrightarrow x \approx 40,08\)

Với x = 40,08 thì y = 52,44

Vậy hai kích thước của hình chữ nhật là 40,08 cm và 52,44 cm

Sachbaitap.com