Giải SBT Toán 10 trang 52 Cánh Diều tập 1

Bài 20 trang 52 SBT Toán 10 - Cánh Diều

Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là sai?

A. \({x^2} - x - 2 > 0\) khi và chỉ khi \(x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\)

B. \({x^2} - x - 2 \le 0\) khi và chỉ khi \(x \in \left[ { - 1;2} \right]\)

C. \({x^2} - x - 2 < 0\) khi và chỉ khi \(x \in \left( { - 1;2} \right)\)

D. \({x^2} - x - 2 \ge 0\) khi và chỉ khi \(x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\)

Lời giải:

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} - x - 2\) có \(a = 1;b =  - 1,c = 2 \Rightarrow \Delta  = {b^2} - 4ac = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.1.2 =  - 7\)

Đồ thị hàm số có \(a = 1 > 0\)

\( \Rightarrow {x^2} - x - 2 < 0\) khi \(x \in \left( { - 1;2} \right)\)

Và \({x^2} - x - 2 > 0\) khi \(x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\)

\( \Rightarrow {x^2} - x - 2 \le 0\) khi \(x \in \left[ { - 1;2} \right]\)

Và \({x^2} - x - 2 \ge 0\) khi \(x \in ( - \infty ; - 1] \cup [2; + \infty )\)

Chọn D.

Bài 21 trang 52 SBT Toán 10 - Cánh Diều

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị ở Hình 15.

Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là sai?

A. \(f\left( x \right) < 0\) khi và chỉ khi \(x \in \left( {1;3} \right)\)

B. \(f\left( x \right) \le 0\) khi và chỉ khi \(x \in \left( { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right)\)

C. \(f\left( x \right) > 0\) khi và chỉ khi \(x \in \left( {1;3} \right)\)

D. \(f\left( x \right) \ge 0\) khi và chỉ khi \(x \in \left[ {1;3} \right]\)

Lời giải:

Hình đồ thị hàm số, ta thấy

\(f\left( x \right) < 0\) khi \(x \in \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)

\(f\left( x \right) = 0\) khi \(x = 1\) hoặc \(x = 3\)

\(f\left( x \right) > 0\) khi \(x \in (1;3)\)

Chọn A.

Bài 22 trang 52 SBT Toán 10 - Cánh Diều

Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\). Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là đúng?

A. \(f\left( x \right) < 0\) với mọi \(x\) khi và chỉ khi \(a < 0\) và \(\Delta  \le 0\)

B. \(f\left( x \right) < 0\) với mọi \(x\) khi và chỉ khi \(a < 0\) và \(\Delta  < 0\)

C. \(f\left( x \right) \le 0\) với mọi \(x\) khi và chỉ khi \(a > 0\) và \(\Delta  < 0\)

D. \(f\left( x \right) \le 0\) với mọi \(x\) khi và chỉ khi \(a > 0\) và \(\Delta  \le 0\)

Phương pháp:

Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right),\Delta  = {b^2} - 4ac\)

+ Nếu \(\Delta  < 0\) thì \(f\left( x \right)\) cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

+ Nếu \(\Delta  = 0\) thì \(f\left( x \right)\) cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{ - b}}{{2a}}} \right\}\)

+ Nếu \(\Delta  > 0\) thì \(f\left( x \right)\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\). Khi đó:

\(f\left( x \right)\) cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x\) thuộc các khoảng \(\left( { - \infty ;{x_1}} \right) \cup \left( {{x_2}; + \infty } \right)\)

\(f\left( x \right)\) trái dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x\) thuộc khoảng \(\left( {x{ & _1};{x_2}} \right)\)

Lời giải:

Ta có: \(\Delta  < 0\) thì \(f\left( x \right)\) cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) nên \(f\left( x \right) < 0\) với mọi \(x\) khi và chỉ khi \(a < 0\) và \(\Delta  < 0\)

Và \(f\left( x \right) \le 0\) với mọi \(x\) khi và chỉ khi \(a < 0\) và \(\Delta  \le 0\)

Chọn B.

Bài 23 trang 52 SBT Toán 10 - Cánh Diều

Lập bảng xét dấu mỗi tam thức bậc hai sau:

a) \(f\left( x \right) = 3{x^2} - 7x + 4\)

b) \(f\left( x \right) = 25{x^2} + 10x + 1\)

c) \(f\left( x \right) = 3{x^2} - 2x + 8\)

d) \(f\left( x \right) =  - 2{x^2} + x + 3\)

e) \(f\left( x \right) =  - 3{x^2} + 6x - 3\)

g) \(f\left( x \right) =  - 5{x^2} + 2x - 4\)

Phương pháp:

Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right),\Delta  = {b^2} - 4ac\)

+ Nếu \(\Delta  < 0\) thì \(f\left( x \right)\) cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

+ Nếu \(\Delta  = 0\) thì \(f\left( x \right)\) cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{ - b}}{{2a}}} \right\}\)

+ Nếu \(\Delta  > 0\) thì \(f\left( x \right)\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\). Khi đó:

Lời giải:

a) \(f\left( x \right) = 3{x^2} - 7x + 4\) có hai nghiệm \({x_1} = 1;{x_2} = \frac{4}{3}\) và có hệ số \(a = 3 > 0\)

Ta có bảng xét dấu của \(f\left( x \right)\) như sau:

b) \(f\left( x \right) = 25{x^2} + 10x + 1\) có nghiệm kép \({x_0} = \frac{{ - 1}}{5}\) và có hệ số \(a = 25 > 0\)

Ta có bảng xét dấu của \(f\left( x \right)\) như sau:

c) \(f\left( x \right) = 3{x^2} - 2x + 8\) vô nghiệm và có hệ số \(a = 3 > 0\)

Ta có bảng xét dấu của \(f\left( x \right)\) như sau:

d) \(f\left( x \right) =  - 2{x^2} + x + 3\) có hai nghiệm \({x_1} =  - 1;{x_2} = \frac{3}{2}\) và có hệ số \(a =  - 2 < 0\)

Ta có bảng xét dấu của \(f\left( x \right)\) như sau:

e) \(f\left( x \right) =  - 3{x^2} + 6x - 3\) có nghiệm kép \({x_0} = 1\) và có hệ số \(a =  - 3 < 0\)

Ta có bảng xét dấu của \(f\left( x \right)\) như sau:

g) \(f\left( x \right) =  - 5{x^2} + 2x - 4\) vô nghiệm và có hệ số \(a =  - 5 < 0\)

Ta có bảng xét dấu của \(f\left( x \right)\) như sau:

Bài 24 trang 52 SBT Toán 10 - Cánh Diều

Tìm \(m\) để tam thức \(f\left( x \right) =  - {x^2} - 2x + m - 12\) không dương với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Lời giải:

Hàm số \(f\left( x \right) =  - {x^2} - 2x + m - 12 \le 0\;\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta  \le 0\end{array} \right.\)  (*)

Mà \(a =  - 1 < 0\) nên

\(\left( * \right) \Leftrightarrow \Delta  = {\left( { - 2} \right)^2} - 4.\left( { - 1} \right).\left( {m - 12} \right) \le 0 \Leftrightarrow 4m - 44 \le 0 \Leftrightarrow m \le 11\)

Vậy \(m \le 11\) thì tam thức đó không dương với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

Bài 25 trang 52 SBT Toán 10 - Cánh Diều

Với giá trị nào của tham số \(m\) thì hàm số \(y = \sqrt {2{x^2} - 5x + 3m - 2} \) có tập xác định là \(\mathbb{R}\)?

Lời giải:

Hàm số \(y = \sqrt {2{x^2} - 5x + 3m - 2} \) xác định khi \(2{x^2} - 5x + 3m - 2 \ge 0\)

Do đó, hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow 2{x^2} - 5x + 3m - 2 \ge 0\;\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta  \le 0\end{array} \right.\) (*)

Mà \(a = 2 > 0,\Delta  = {\left( { - 5} \right)^2} - 4.2.\left( {3m - 2} \right) =  - 24m + 41\)

Do đó \((*) \Leftrightarrow  - 24m + 41 \le 0 \Leftrightarrow m \ge \frac{{41}}{{24}}\)

Vậy \(m \ge \frac{{41}}{{24}}\)

Bài 26 trang 52 SBT Toán 10 - Cánh Diều

Tìm tất cả giá trị của \(m\) để hàm số \(y = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} - 4x + 6m - 1} }}\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

Lời giải:

Hàm số \(y = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} - 4x + 6m - 1} }}\) xác định khi \({x^2} - 4x + 6m - 1 > 0\)

Do đó, hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 6m - 1 > 0\)\(\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta  < 0\end{array} \right.\) (*)

Mà \(a = 1 > 0,\Delta  = {\left( { - 4} \right)^2} - 4.1.\left( {6m - 1} \right) =  - 24m + 20\)

Do đó \((*) \Leftrightarrow  - 24m + 20 < 0 \Leftrightarrow m > \frac{5}{6}\)

Vậy \(m > \frac{5}{6}\)

Bài 27 trang 52 SBT Toán 10 - Cánh Diều

Bộ phận nghiên cứu thị trường của một xí nghiệp xác định tổng chi phí để sản xuất \(Q\) sản phẩm là \({Q^2} + 200Q + 180.000\) (nghìn đồng). Giả sử giá mỗi sản phẩm bán ra thị trường là 1 300 nghìn đồng

a) Xác định lợi nhuận xí nghiệp thu được sau khi bán hết \(Q\) sản phẩm đó, biết rằng lợi nhuận là hiệu doanh thu trừ đi tổng chi phí để sản xuất

b) Xí nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để không bị lỗ? Biết rằng các sản phẩm được sản xuất ra đều bán hết

Lời giải:

a) Doanh thu của xí nghiệp là: \(DT = 1\;300Q\) (nghìn đồng)

Tổng chi phí để sản xuất \(Q\) sản phẩm là \(CP = {Q^2} + 200Q + 180\;000\) (nghìn đồng)

\( \Rightarrow \) Lợi nhuận của xí nghiệp là: \(f\left( Q \right) = DT - CP = 1300Q - \left( {{Q^2} + 200Q + 180000} \right) =  - {Q^2} + 1100Q - 180000\) (nghìn đồng)

b) Xí nghiệp không bị lỗ khi và chỉ khi \(f\left( Q \right) \ge 0\)

\(f\left( x \right) =  - {x^2} + 1\;100x - 180\;000\)có hai nghiệm \({x_1} = 200;{x_2} = 900\) và có hệ số \(a =  - 1 < 0\)

Ta có bảng xét dấu của \(f\left( x \right)\) như sau:

Theo đó, \(f\left( Q \right) \ge 0 \Leftrightarrow Q \in \left[ {200;900} \right]\).

Vậy ví nghiệp cần sản xuất số sản phẩm trong đoạn \(\left[ {200;900} \right]\) để không bị lỗ

Sachbaitap.com