Giải SBT Toán 10 trang 61, 62, 63 Cánh Diều tập 1

Bài 45 trang 61 SBT Toán 10 - Cánh Diều

Trong các hàm số sau, hàm số nào không là hàm số bậc hai?

A. \(y =  - 5{x^2} + 6x\)

B. \(y = 3 - 2{x^2}\)

C. \(y =  - x\left( {5x - 7} \right)\)

D. \(y = 0{x^2} + 6x - 5\)

Phương pháp:

Hàm số bậc hai là hàm số được cho bằng biểu thức có dạng \(y = a{x^2} + bx + c\) trong đó \(a,b,c\) là những hằng số và \(a \ne 0\)

Lời giải:

Đáp án đúng là D

Xét hàm số y = – 5x² + 6x có dạng ax² + bx + c với a = – 5, b = 6 và c = 0. Do đó A sai.

Xét hàm số y = 3 – 2x² = – 2x² + 3 có dạng ax² + bx + c với a = – 2, b = 0 và c = 3. Do đó B sai.

Xét hàm số y = – x(5x – 7) = – 5x² + 7x có dạng ax² + bx + c với a = – 5, b = 7 và c = 0. Do đó C sai.

Xét hàm số y = 0x² + 6x – 5 có dạng ax² + bx + c tuy nhiên a = 0 nên đây không là hàm số bậc hai. Do đó D đúng.

Bài 46 trang 61 SBT Toán 10 - Cánh Diều

Tập nghiệm của bất phương trình \( - 5{x^2} + 6x + 11 \le 0\) là:

A. \(\left[ { - 1;\frac{{11}}{5}} \right]\)

B. \(\left( { - 1;\frac{{11}}{5}} \right)\)

C. \(x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {\frac{{11}}{5}; + \infty } \right)\)

D. \(x \in \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {\frac{{11}}{5}; + \infty } \right)\)

Lời giải:

Tam thức bậc hai \( - 5{x^2} + 6x + 11\) có hai nghiệm \({x_1} =  - 1;{x_2} = \frac{{11}}{5}\) và có hệ số \(a =  - 5 < 0\)

Bảng xét dấu:

Ta thấy tập hợp những giá trị của \(x\) sao cho tam thức \( - 5{x^2} + 6x + 11\) mang dấu “-” là \(\left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {\frac{{11}}{5}; + \infty } \right)\)

Chọn D.

Bài 47 trang 62 SBT Toán 10 - Cánh Diều

Cho hàm số \(h\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}1\quad \quad x < 0\\2\quad \quad x \ge 0\end{array} \right.\)

a) Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số của hàm số trên: \(A\left( {0;0} \right),B\left( { - 1;1} \right),C\left( {2021;1} \right);D\left( {2022;2} \right)\)

b) Chỉ ra hai điểm thuộc đồ thị của hàm số trên có tung độ bằng 2

c) Chỉ ra điểm thuộc đồ thị hàm số trên có hoành độ bằng -2022

Lời giải:

a) Tập xác định của hàm số đã cho là D = ℝ\{0}.

+) Điểm A(0; 0) có x = 0 không thỏa mãn điều kiện xác định nên không thuộc đồ thị hàm số.

+) Điểm B(– 1; 1) có x = – 1 và y = 1

Vì x = – 1 < 0 nên y = f(x) = 1 (thỏa mãn). Do đó điểm B thuộc đồ thị hàm số đã cho.

+) Điểm C(2 021; 1) có x = 2 021 và y = 1

Vì x = 2 021 > 0 nên y = f(x) = 2 ≠ 1. Do đó điểm C không thuộc đồ thị hàm số đã cho.

+) Điểm D(2 022; 2) có x = 2 022 và y = 2

Vì x = 2 022 > 0 nên y = f(x) = 2 (thỏa mãn). Do đó điểm D thuộc đồ thị hàm số đã cho.

Vậy có điểm B và điểm D thuộc đồ  thị hàm số đã cho.

Bài 48 trang 62 SBT Toán 10 - Cánh Diều

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị ở Hình 24

a) Chỉ ra khoảng đồng biến và khoảng nghịch biến của hàm số \(y = f\left( x \right)\)

b) Nêu tung độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) với trục \(Oy\)

Lời giải:

a) Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:

Với x < 0 hoặc x > 2 thì đồ thị hàm số đi lên. Do đó hàm số đồng biến trên khoảng (– ∞; 0) ∪ (2; +∞).

Với 0 < x < 2 thì đồ thị hàm số đi xuống. Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2).

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (– ∞; 0) ∪ (2; +∞) và hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2).

b) Đồ thị hàm số giao với trục tung tại điểm có tung độ bằng 2.

Bài 49 trang 62 SBT Toán 10 - Cánh Diều

Một người vay 100 triệu đồng tại một ngân hàng để mua nhà với lãi suất r%/năm trong thời hạn 2 năm. Hỏi số tiền người này phải trả cho ngân hàng là bao nhiêu triệu đồng sau 2 năm?

Lời giải:

Sau 1 năm người này nợ ngân hàng số tiền là:

100 + r%.100 = 100.(1 + r%) (triệu đồng).

Sau 2 năm người này phải trả ngân hàng số tiền là:

100.(1 + r%) + r%.100.(1 + r%)  = 100(1 + r%)(1 + r%) = 100(1 + r%)² (triệu đồng).

Vậy sau 2 năm số tiền người này phải trả cho ngân hàng là 100(1 + r%)² (triệu đồng).

Bài 50 trang 62 SBT Toán 10 - Cánh Diều

Vẽ đồ thị hàm số của mỗi hàm số sau:

a) \(y = 2{x^2} - 8x + 1\)

b) \(y =  - {x^2} + 4x - 3\)

Lời giải:

a) Hàm số \(y = 2{x^2} - 8x + 1\)có \(a = 2 > 0;b =  - 8;c = 1\) và \( - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{{ - 8}}{{2.2}} = 2\)

+ Đỉnh của parabol là \(I\left( {2; - \frac{{{{\left( { - 8} \right)}^2} - 4.2.1}}{{4.2}}} \right) = \left( {2; - 7} \right)\)

+ Trục đối xứng \(x = 2\)

+ Giao điểm với trục tung là A(0;1)

+ Điểm đối xứng với A(0;1) qua trục đối xứng \(x = 2\) là B(4;1)

+ Lấy các điểm C(1; -5) và D(3;-5)

Từ đó ta có đồ thị hàm số:

b) Hàm số \(y =  - {x^2} + 4x - 3\) có \(a =  - 1;b = 4;c =  - 3\) và \( - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{4}{{2.( - 1)}} = 2\)

+ Đỉnh của parabol là \(I\left( {2; - {2^2} + 4.2 - 3} \right) = \left( {2;1} \right)\)

+ Trục đối xứng \(x = 2\)

+ Giao điểm với trục tung là A(0;-3)

+ Điểm đối xứng với A(0;-3) qua trục đối xứng \(x = 2\) là B(4;-3)

+ Giao điểm với trục hoành là C(1;0) và D(3;0)

Từ đó ta có đồ thị hàm số: 

Bài 51 trang 62 SBT Toán 10 - Cánh Diều

Giải các bất phương trình bậc hai sau:

a) \(4{x^2} - 9x + 5 \le 0\)

b) \( - 3{x^2} - x + 4 > 0\)

c) \(36{x^2} - 12x + 1 > 0\)

d) \( - 7{x^2} + 5x + 2 < 0\)

Phương pháp:

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai

Bước 1: Xác định dấu của hệ số \(a\) và tìm nghiệm của \(f\left( x \right)\) (nếu có)

Bước 2: Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai để tìm tập hợp các giá trị của của x sao cho \(f\left( x \right)\) mang dấu thỏa mãn bất phương trình

+ Nếu \(\Delta  < 0\) thì \(f\left( x \right)\) cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

+ Nếu \(\Delta  = 0\) thì \(f\left( x \right)\) cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{ - b}}{{2a}}} \right\}\)

+ Nếu \(\Delta  > 0\) thì \(f\left( x \right)\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\). Khi đó:

\(f\left( x \right)\) cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x\) thuộc các khoảng \(\left( { - \infty ;{x_1}} \right) \cup \left( {{x_2}; + \infty } \right)\)

\(f\left( x \right)\) trái dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x\) thuộc khoảng \(\left( {x{ & _1};{x_2}} \right)\)

Lời giải:

a) \(4{x^2} - 9x + 5 \le 0\)

Tam thức bậc hai \(4{x^2} - 9x + 5\) có hai nghiệm \({x_1} = 1;{x_2} = \frac{5}{4}\) và có hệ số \(a = 4 > 0\)

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai

Ta thấy tập hợp những giá trị của \(x\) sao cho tam thức \(4{x^2} - 9x + 5\) mang dấu “-” là \(\left[ {1;\frac{5}{4}} \right]\)

b) \( - 3{x^2} - x + 4 > 0\)

Tam thức bậc hai \( - 3{x^2} - x + 4\) có hai nghiệm \({x_1} =  - \frac{4}{3};{x_2} = 1\) và có hệ số \(a =  - 3 < 0\)

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai

Ta thấy tập hợp những giá trị của \(x\) sao cho tam thức \( - 3{x^2} - x + 4\) mang dấu “+” là \(\left( { - \frac{4}{3};1} \right)\)

c) \(36{x^2} - 12x + 1 > 0\)

Tam thức bậc hai \(36{x^2} - 12x + 1\) có nghiệm kép \({x_0} = \frac{1}{6}\) và có hệ số \(a = 36 > 0\)

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của \(x\) sao cho tam thức \(36{x^2} - 12x + 1\) mang dấu “+” là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{1}{6}} \right\}\)

d) \( - 7{x^2} + 5x + 2 < 0\)

Tam thức bậc hai \( - 7{x^2} + 5x + 2\) có hai nghiệm \({x_1} = \frac{{ - 2}}{7};{x_2} = 1\) và có hệ số \(a =  - 7 < 0\)

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai

Ta thấy tập hợp những giá trị của \(x\) sao cho tam thức \( - 7{x^2} + 5x + 2\) mang dấu “-” là \(\left( { - \infty ;\frac{{ - 2}}{7}} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\)

Bài 52 trang 62 SBT Toán 10 - Cánh Diều

Giải các phương trình sau:

a) \(\sqrt {8 - x}  + x =  - 4\)

b) \(\sqrt {3{x^2} - 5x + 2}  + 3x = 4\)

Lời giải:

a) \(\sqrt {8 - x}  + x =  - 4 \Leftrightarrow \sqrt {8 - x}  =  - x - 4\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - x - 4 \ge 0\\8 - x = {\left( { - x - 4} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le  - 4\\8 - x = {x^2} + 8x + 16\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le  - 4\\{x^2} + 9x + 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le  - 4\\\left[ \begin{array}{l}x =  - 1\;(L)\\x =  - 8\;\end{array} \right.\end{array} \right.\quad  \Leftrightarrow x =  - 8\end{array}\)

Vậy \(S = \left\{ { - 8} \right\}\)

b) \(\sqrt {3{x^2} - 5x + 2}  + 3x = 4 \Leftrightarrow \sqrt {3{x^2} - 5x + 2}  = 4 - 3x\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 - 3x \ge 0\\3{x^2} - 5x + 2 = {\left( {4 - 3x} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le \frac{4}{3}\\3{x^2} - 5x + 2 = 9{x^2} - 24x + 16\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le \frac{4}{3}\\6{x^2} - 19x + 14 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le \frac{4}{3}\\\left[ \begin{array}{l}x = 2\;(L)\\x = \frac{7}{6}\;\end{array} \right.\end{array} \right.\quad  \Leftrightarrow x = \frac{7}{6}\;\end{array}\)

Vậy \(S = \left\{ {\frac{7}{6}} \right\}\)

Bài 53 trang 62 SBT Toán 10 - Cánh Diều

Hình 25 cho biết rằng bảng giá cước của một hãng taxi (đã bao gồm thuế VAT):

a) Số tiền phải trả \(y\) (đồng) có phải là hàm số của quãng đường \(x\) (km) khi đi taxi hay không? Giải thích. Nếu đúng, hãy xác định những công thức tính \(y\) theo \(x\) biểu thị cho bẳng trên.

b) Quãng đường \(x\)(km) có phải là hàm số của số tiền phải trả \(y\) (đồng) không? Giải thích

c) Tính số tiền bạn Quân phải trả khi đi taxi hãng trên với quãng đường 20 km.

Phương pháp:

Biểu diễn quãng đường qua số tiền phải trả

Lời giải:

a) Gọi quãng đường là x (km), số tiền phải trả là y (đồng).

Nếu \(0 < x \le 0,3\) thì số tiền phải trả là \(y = 5000\) (đồng)

Nếu \(0,3 < x \le 2\) thì số tiền phải trả là \(y = 5000 + 20600(x - 0,3) = 20600x - 1180\) (đồng)

Nếu \(2 < x \le 10\) thì số tiền phải trả là \(y = 5000 + 20600.1,7 + 16000(x - 2) = 16000x + 8020\) (đồng)

Nếu \(10 < x \le 25\) thì số tiền phải trả là \(y = 5000 + 20600.1,7 + 16000.8 + 17600(x - 10) = 17600x - 7980\) (đồng)

Nếu \(x > 25\) thì số tiền phải trả là \(y = 5000 + 20600.1,7 + 16000.8 + 17600.15 + 15100.(x - 25) = 15100x + 54520\) (đồng)

Như vậy ta có công thức tính y theo x là:

\(y = \left\{ \begin{array}{l}5000\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad 0 < x \le 0,3\\20600x - 1180\quad \quad \quad \quad 0,3 < x \le 2\\16000x + 8020\quad \quad \quad \quad 2 < x \le 10\\17600x - 7980\quad \quad \quad \quad 10 < x \le 25\\15100x + 54520\quad \quad \quad \quad x > 25\end{array} \right.\)

\(y\) là hàm số của \(x\) vì với mỗi giá trị của \(x\) có một và chỉ một giá trị tương ứng của \(y\).

b) Quãng đường \(x\)(km) không phải là hàm số của số tiền phải trả \(y\) (đồng).

Vì với mỗi giá trị của y, ta xác định được nhiều hơn một giá trị của x.

Ví dụ cùng số tiền \(y = 5000\) (đồng) có nhiều quãng đường \(x\)(km) sẽ trả số tiền ấy, như là \(x = 0,1;x = 0,2;x = 0,3.\)  

c) Với \(x = 20 \in (10;25]\)

\( \Rightarrow y\left( {20} \right) = 17600.20 - 7980 = 344020\) (đồng)

Vậy số tiền bạn Quân phải trả khi đi taxi hãng trên với quãng đường 20 km là 344 020 đồng

Bài 54 trang 63 SBT Toán 10 - Cánh Diều

Quan sát chiếc Cổng Vàng (Golden Gate bridge) ở Hình 26. Độ cao \(h\) (feet) tính từ mặt cầu đến các điểm trên dây treo ở phần giữa hai trụ cầu được xác định bởi công thức \(h\left( x \right) = \frac{1}{{9000}}{x^2} - \frac{7}{{15}}x + 500\), trong đó \(x\) (feet) là khoảng cách từ trụ cầu bên trái đến điểm tương ứng trên dây treo

a) Xác định độ cao của trụ cầu so với mặt cầu theo đơn vị feet.

b) Xác định khoảng cách giữa hai trụ cầu theo đơn vị feet, biết rằng hai trụ cầu này có độ cao bằng nhau

Lời giải:

a) Độ cao của trụ cầu ứng với độ cao h tại \(x = 0\)

Tại \(x = 0\) thì \(h\left( 0 \right) = \frac{1}{{9000}}.0 - \frac{7}{{15}}.0 + 500 = 500\) (feet)

Vậy độ cao của trụ cầu so với mặt cầu là 500 feet.

b)

Dễ thấy hai đỉnh trụ cầu đối xứng với nhau qua trục đối xứng của parabol \(h(x)\).

Xác định trục đối xứng của parabol: \(x = \frac{{ - b}}{{2a}} =  - \frac{{ - \frac{7}{{15}}}}{{2.\frac{1}{{9000}}}} = 2100\)

Khoảng cách giữa hai trụ cầu là \(2.2100 = 4200\) (feet)

Cách 2:

Do hai trụ cầu cao bằng nhau nên độ cao của trụ cầu bên phải cũng là 500 feet.

Khoảng cách giữa hai trụ cầu chính là hoành độ (khác 0) của trụ cầu bên phải.

Ta tìm \(x \ne 0\) sao cho \(h(x) = 500\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\\frac{1}{{9000}}{x^2} - \frac{7}{{15}}x + 500 = 500\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\\frac{1}{{9000}}{x^2} - \frac{7}{{15}}x = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\\frac{1}{{9000}}x - \frac{7}{{15}} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{7}{{15}}:\frac{1}{{9000}} = 4200\end{array}\)

Vậy khoảng cách giữa hai trụ là 4200 feet.

Bài 55 trang 63 SBT Toán 10 - Cánh Diều

Bác Nam dự định làm một khung ảnh hình chữ nhật sao cho phần trong của khung là hình chữ nhật có kích thước 6 cm x 11 cm, độ rộng viền xung quanh là \(x\) cm (Hình 27). Diện tích của viền khung ảnh không vượt quá \(38c{m^2}\). Hỏi độ rộng viền khung ảnh lớn nhất là bao nhiêu cm?

Phương pháp:

Đặt độ rộng của viền khung ảnh là \(x\)(cm) (\(x > 0\)). Biểu diễn diện tích viền khung ảnh và giải bất phương trình

Lời giải:

Đặt độ rộng của viền khung ảnh là \(x\)(cm) (\(x > 0\)).

Ta có diện tích viền khung ảnh là \(\left( {11 + 2x} \right)\left( {6 + 2x} \right) - 66 = 4{x^2} + 34x\) (\(c{m^2}\))

Theo đề bài ta có: \(4{x^2} + 34x \le 38 \Leftrightarrow 4{x^2} + 34x - 38 \le 0\)

Tam thức bậc hai \(4{x^2} + 34x - 38\) có hai nghiệm \({x_1} = \frac{{ - 19}}{2};{x_2} = 1\) và có hệ số \(a = 4 > 0\)

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của \(x\) sao cho tam thức \(4{x^2} + 34x - 38\) mang dấu “-” là \(\left[ {\frac{{ - 19}}{2};1} \right]\)

Do đó \(0 < x \le 1\)

Vậy độ rộng viền khung ảnh lớn nhất là 1 cm.

Bài 56 trang 63 SBT Toán 10 - Cánh Diều

Hai địa điểm A và B cách hai bởi một con sông (coi hai bờ sông song song). Người ta muốn xây một chiếc cầu bắc vuông góc với bờ sông để có thể đi từ A đến B. Với các số liệu (tính theo đơn vị km) cho trên Hình 28, tìm \(x\) (km) để xác định vị trí đặt chân cầu sao cho khoảng cách từ B đến chân cầu phía B gấp đôi khoảng cách từ A đến chân cầu phía A.

+ Gọi chân cầu phía A là M, chân cầu phía B là N. Tính AM, BN dựa vào Pytago.

+ Giải phương trình \(BM = 2AM\) có dạng \(\sqrt {f\left( x \right)}  = \sqrt {g\left( x \right)} \)

\(\sqrt {f\left( x \right)}  = \sqrt {g\left( x \right)}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) \ge 0\\f\left( x \right) = g\left( x \right)\end{array} \right.\)

Phương pháp:

+ Gọi chân cầu phía A là M, chân cầu phía B là N. Tính AM, BN dựa vào Pytago.

+ Giải phương trình \(BM = 2AM\) có dạng \(\sqrt {f\left( x \right)}  = \sqrt {g\left( x \right)} \)

\(\sqrt {f\left( x \right)}  = \sqrt {g\left( x \right)}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) \ge 0\\f\left( x \right) = g\left( x \right)\end{array} \right.\)

Lời giải:

Gọi chân cầu phía A là M, chân cầu phía B là N.

Dựa vào hình 28, áp dụng định lý Pytago, ta có:

\(AM = \sqrt {{x^2} + {2^2}}  = \sqrt {{x^2} + 4} ,BN = \sqrt {{{\left( {6 - x} \right)}^2} + {4^2}}  = \sqrt {{x^2} - 12x + 52} \)

Theo đề bài, ta có: \(BM = 2AM \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 12x + 52}  = 2\sqrt {{x^2} + 4} \)

 \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 4 \ge 0\\{x^2} - 12x + 52 = 4\left( {{x^2} + 4} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow {x^2} - 12x + 52 = 4{x^2} + 16\\ \Leftrightarrow 3{x^2} + 12x - 36 = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\x =  - 6\end{array} \right.\end{array}\)

Do \(x > 0\) nên \(x = 2\).

Vậy với \(x = 2\) km thì khoảng cách từ B đến chân cầu phía B gấp đôi khoảng cách từ A đến chân cầu phía A.

Sachbaitap.com