Giải SBT Toán 10 trang 69, 70 Chân trời sáng tạo tập 2

Bài 1 trang 69 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình đường tròn? Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.

a) \({x^2} + {y^2} + 2x + 2y - 9 = 0\)

b) \({x^2} + {y^2} - 6x - 2y + 1 = 0\)

c) \({x^2} + {y^2} + 8x + 4y + 2022 = 0\)

d) \(3{x^2} + 2{y^2} + 5x + 7y - 1 = 0\)

Lời giải:

a) \({x^2} + {y^2} + 2x + 2y - 9 = 0\)

+ Phương trình đã cho có các hệ số \(a =  - 1,b =  - 1,c =  - 9\)

+ Tính \({a^2} + {b^2} - c = {\left( { - 1} \right)^2} + {\left( { - 1} \right)^2} - \left( { - 9} \right) = 11 > 0\), nên phương trình của đường tròn có tâm \(I\left( { - 1; - 1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {11} \)

b) \({x^2} + {y^2} - 6x - 2y + 1 = 0\)

+ Phương trình đã cho có các hệ số \(a = 3,b = 1,c = 1\)

+ Tính \({a^2} + {b^2} - c = {3^2} + {1^2} - 1 = 9 > 0\), nên phương trình của đường tròn có tâm \(I\left( {3;1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 9  = 3\)

c) \({x^2} + {y^2} + 8x + 4y + 2022 = 0\)

+ Phương trình đã cho có các hệ số \(a =  - 4,b =  - 2,c = 2022\)

+ Tính \({a^2} + {b^2} - c = {\left( { - 4} \right)^2} + {\left( { - 2} \right)^2} - 2022 < 0\)

à Đây không phải là phương trình của đường tròn

d) \(3{x^2} + 2{y^2} + 5x + 7y - 1 = 0\)

Phương trình đã cho không là phương trình của đường tròn vì hệ số của \({x^2}\) và \({y^2}\) không bằng nhau

Bài 2 trang 70 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Lập phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) trong các trường hợp sau:

a) \(\left( C \right)\) có tâm \(O\left( {0;0} \right)\) và bán kính \(R = 9\)

b) \(\left( C \right)\)có đường kính AB với \(A\left( {1;1} \right)\) và \(B\left( {3;5} \right)\)

c) \(\left( C \right)\) có tâm \(M\left( {2;3} \right)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(3x - 4y + 9 = 0\)

d) \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {3;2} \right)\) và đi qua điểm \(B\left( {7;4} \right)\)

Lời giải:

a) \(\left( C \right)\) có tâm \(O\left( {0;0} \right)\) và bán kính \(R = 9\)

Phương trình đường tròn: \({x^2} + {y^2} = {9^2} = 81\)

b) \(\left( C \right)\)có đường kính AB với \(A\left( {1;1} \right)\) và \(B\left( {3;5} \right)\)

+ I là trung điểm của AB nên \(I\left( {2;3} \right)\)

+ \(R = IA = \sqrt {{1^2} + {2^2}}  = \sqrt 5 \)

+ Phương trình đường tròn: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 5\)

c) \(\left( C \right)\) có tâm \(M\left( {2;3} \right)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(3x - 4y + 9 = 0\)

+ \(d\left( {M,d} \right) = R = \frac{{\left| {3.2 - 4.3 + 9} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \frac{3}{5}\)

+ Phương trình đường tròn: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = \frac{9}{{25}}\)

d) \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {3;2} \right)\) và đi qua điểm \(B\left( {7;4} \right)\)

+ \(R = IB = \sqrt {{4^2} + {2^2}}  = \sqrt {20} \)

+ Phương trình đường tròn: \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 20\)

Bài 3 trang 70 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có tọa độ các đỉnh là:

a) \(A\left( {1;4} \right),B\left( {0;1} \right),C\left( {4;3} \right)\)

b) \(O\left( {0;0} \right),P\left( {16;0} \right),R\left( {0;12} \right)\)

Lời giải:

a) \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1; - 3} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {3; - 1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 0 \Rightarrow AB \bot AC\) à Tam giác ABC vuông tại A à I là trung điểm của BC

\( \Rightarrow I\left( {2;2} \right),R = \frac{{BC}}{2} = \frac{{\sqrt {{4^2} + {2^2}} }}{2} = \sqrt 5 \)

\( \Rightarrow \) Phương trình đường tròn: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 5\)

b) \(\overrightarrow {OP}  = \left( {16;0} \right),\overrightarrow {OR}  = \left( {0;12} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OP} .\overrightarrow {OR}  = 0 \Rightarrow OP \bot OR\) à Tam giác OPR vuông tại O à I là trung điểm của PR

\( \Rightarrow I\left( {2;2} \right),R = \frac{{PR}}{2} = \frac{{\sqrt {{4^2} + {2^2}} }}{2} = \sqrt 5 \)

\( \Rightarrow \) Phương trình đường tròn: \({\left( {x - 8} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} = 100\)

Bài 4 trang 70 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ \(Ox,Oy\) và đi qua điểm \(A\left( {2;1} \right)\)

Lời giải:

Gọi đường tròn (C) cần lập có tâm \(I\left( {a;b} \right)\) và bán kính R.

+ \(\left( C \right)\) tiếp xúc với \(Ox,Oy\)

\(d\left( {I,Ox} \right) = d\left( {I,Oy} \right) = R \Leftrightarrow \left| b \right| = \left| a \right| = R\)

Mặt khác: (C) tiếp xúc với \(Ox,Oy\) nên nó thuộc một trong bốn góc phần tư của mặt phẳng.

\(A(2;1) \in \left( C \right)\) =>(C) thuộc góc phần tư thứ nhất => \(a,b>0\) => \(a=b=R\)  

+ \(A \in \left( C \right) \Rightarrow IA = R \Rightarrow I{A^2} = {R^2} \\ \Rightarrow {\left( {2 - a} \right)^2} + {\left( {1 - a} \right)^2} = {a^2} \Rightarrow {a^2} - 6a + 5 = 0 \) \(\Rightarrow a = 1\) hoặc \(a = 5\).

+ Phương trình đường tròn là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1\) hoặc \({\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 25\)

Bài 5 trang 70 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Cho đường tròn \(\left( C \right)\) có phương trình \({x^2} + {y^2} - 6x - 2y - 15 = 0\)

a) Chứng tỏ rằng điểm \(A\left( {0;5} \right)\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\)

b) Viết phương trình tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) tại điểm \(A\left( {0;5} \right)\)

c) Viết phương trình tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) song song với đường thẳng \(8x + 6y + 99 = 0\)

Lời giải:

\(\left( C \right)\) có phương trình \({x^2} + {y^2} - 6x - 2y - 15 = 0\) 

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {x^2} - 6x + 9 + {y^2} - 2y + 1 - 25 = 0\\
\Leftrightarrow {(x - 3)^2} + {(y - 1)^2} = 25
\end{array}\)

\( \Rightarrow \) (C) có tâm I(3;2) và bán kính R=5.

a) \(A(0;5)\) thuộc (C) vì \({0^2} - 6.0 + 9 + {5^2} - 2.5 + 1 - 25 = 0\)

b) + VTPT của PT tiếp tuyến tại A là \(\overrightarrow {{n_d}}  = \overrightarrow {IA}  = \left( { 3;-4} \right)  \)

PT tiếp tuyến tại A là \( d: 3\left( {x - 0} \right) - 4\left( {y - 5} \right) = 0  \Rightarrow d: 3x - 4y + 20 = 0\)

c) + \(\Delta //8x + 6y + 99 = 0 \Rightarrow \Delta :8x + 6y + c = 0\left( {c \ne 99} \right)\)

+ \(d\left( {I,\Delta } \right) = R \Rightarrow \frac{{\left| {8.3 + 6.1 + c} \right|}}{{\sqrt {{8^2} + {6^2}} }} = 5 \Rightarrow \left| {c + 30} \right| = 50 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 20\\c =  - 80\end{array} \right.\)

Vậy \(\Delta :8x + 6y + 20 = 0\) hoặc \(\Delta :8x + 6y - 80 = 0\)

Bài 6 trang 70 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Một cái cổng bán nguyệt rộng 6,8m, cao 3,4m. Mặt đường dưới cổng được chia thành hai làn cho xe ra vào

a) Viết phương trình mô phỏng cái cổng

b) Một chiếc xe tải rộng 2,4 m và cao 2,5 m đi đúng làn đường quy định có thể đi qua cổng được hay không?

Lời giải:

a) Chọn hệ tọa độ sao cho tâm của cái cổng hình bán nguyệt có tọa độ \(\left( {0;0} \right)\)

Cộng rộng 6,8m, cao 3,4m nên đỉnh của cổng có tọa độ \(M\left( {0;3,4} \right)\)

Ta có phương trình mô phỏng cổng là: \({x^2} + {y^2} = 3,{4^2}\left( {y > 0} \right)\)

b) chiếc xe tải rộng 2,4 m và cao 2,5 m 

Khi đó thiết diện của xe tải là hình chữ nhật dài 2,5m và rộng 2,4m. 

Gọi \(B(2,4; 2,5)\), khi đó thiết diện xe là hình chữ nhật OABC với A(2,4;0) và C(0;2,5).

Xe có thể đi qua cổng nếu hình chữ nhật nằm phía trong đường tròn hay OB <R=3,4.

Ta có: \(OB = \sqrt {O{A^2} + O{C^2}}  = \sqrt {2,{4^2} + 2,{5^2}}  \approx 3,5\left( m \right) > R = 3,4\left( m \right)\)

Vậy nếu đi đúng làn đường quy định thì xe tải không thể đi qua cổng

Sachbaitap.com