Giải SGK Toán 11 trang 41, 42 Cánh Diều tập 1

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 trang 41, bài 11, 12, 13, 14 trang 42 SGK Toán lớp 11 Cánh Diều tập 1. Hàm số y = sinx đồng biến trên khoảng:

Bài 1 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Hàm số y = sinx đồng biến trên khoảng:

A. $\left( {0;\pi } \right)$

B. $\left( { - \frac{{3\pi }}{2}; - \frac{\pi }{2}} \right)$

C. $\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$

D. $\left( { - \pi ;0} \right)$

Phương pháp:

Sử dụng khoảng biến thiên của hàm số y = sinx

Lời giải:

Hàm số y = sinx đồng biến trên khoảng: $\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$

Chọn C

Bài 2 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {\pi ;2\pi } \right)$ là:

A.$y = \sin x$

B.$y = \cos x$

C.$y = \tan x$

D.$y = \cot x$

Phương pháp:

Sử dụng khoảng biến thiên của các hàm số lượng giác

Lời giải:

Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {\pi ;2\pi } \right)$ là:$y = \cos x$

Chọn B

Bài 3 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Nếu $\tan \left( {a + b} \right) = 3,\tan \left( {a - b} \right) = - 3$ thì $\tan 2a$ bằng:

A.0

B.$\frac{3}{5}$

C.1

D.$ - \frac{3}{4}$

Phương pháp:

Sử dụng công thức lương giác của tan.

Lời giải:

Ta có :

$\begin{array}{l}\tan \left( {a + b} \right) = 3\\ \Rightarrow \frac{{tana + \tan b}}{{1 - \tan a.\tan b}} = 3\\ \Rightarrow tana + \tan b = 3(1 - \tan a.\tan b)\,\,\,\,\,\,(1)\\\tan \left( {a - b} \right) = - 3\\ \Rightarrow \frac{{tana - \tan b}}{{1 + \tan a.\tan b}} = 3\\ \Rightarrow tana - \tan b = 3(1 + \tan a.\tan b)\,\,\,\,\,\,(2)\end{array}$

Cộng theo vế của (1) và (2) ta có

$\tan a = 3$

Ta có

$\tan 2a = \frac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}} = \frac{{2.3}}{{1 - {3^2}}} = \frac{{ - 3}}{4}$

Chọn D

Bài 4 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Nếu $\cos a = \frac{1}{4}$ thì $\cos 2a$ bằng:

A.$\frac{7}{8}$

B.$ - \frac{7}{8}$

C.$\frac{{15}}{{16}}$

D.$ - \frac{{15}}{{16}}$

Phương pháp:

Sử dụng công thức nhân đôi

Lời giải:

Bài 5 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Nếu $\cos a = \frac{3}{5}$ và $\cos b = - \frac{4}{5}$ thì $\cos \left( {a + b} \right)\cos \left( {a - b} \right)$ bằng:

A.0

B.2

C.4

D.5

Phương pháp:

Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng

Lời giải:

Ta có :

$\cos \left( {a + b} \right)\cos \left( {a - b} \right) = \frac{1}{2}\left( {\cos 2a + \cos 2b} \right) = \frac{1}{2}\left( {2{{\cos }^2}a - 1 + 2{{\cos }^2}b - 1} \right) = 0$

Chọn A

Bài 6 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Nếu $\sin a = - \frac{{\sqrt 2 }}{3}$ thì $\sin \left( {a + \frac{\pi }{4}} \right) + \sin \left( {a - \frac{\pi }{4}} \right)$ bằng

A.$\frac{2}{3}$

B.$\frac{1}{3}$

C.$ - \frac{2}{3}$

D.$ - \frac{1}{3}$

Phương pháp:

Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích

Lời giải:

Bài 7 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Số nghiệm của phương trình cosx = 0 trên đoạn $\left[ {0;10\pi } \right]$ là

A.5

B.9

C.10

D.11

Phương pháp:

Sử dụng công thức tổng quát của phương trình cos

Lời giải:

Ta có

$\begin{array}{l}cosx{\rm{ }} = {\rm{ }}0\\ \Leftrightarrow cosx{\rm{ }} = {\rm{ cos}}\frac{\pi }{2}\\ \Leftrightarrow x{\rm{ }} = {\rm{ }}\frac{\pi }{2} + k\pi ;k \in Z\end{array}$

Mà $x \in \left[ {0;10\pi } \right]$ nên

$\begin{array}{l}0 \le \frac{\pi }{2} + k\pi \le 10\pi \\ \Rightarrow - 0,5 \le k \le 9,5\end{array}$

Lại có $k \in Z$ suy ra $k \in \left\{ {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9} \right\}$

Vậy phương trình đã cho có số nghiệm là 10.

Chọn C

Bài 8 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Số nghiệm của phương trình sinx = 0 trên đoạn $\left[ {0;10\pi } \right]$ là:

A.10

B.6

C.5

D.11

Phương pháp:

Sử dụng công thức tổng quát của phương trình sin

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Cách 1. Giải phương trình lượng giác

sinx = 0

$\Leftrightarrow"> \Leftrightarrow$ x = kπ (k ∈ ℤ)

Do x ∈ [0; 10π] nên ta có: 0 ≤ kπ ≤ 10π

$\Leftrightarrow"> \Leftrightarrow$ 0 ≤ k ≤ 10

Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {0; 1; 2; …; 10}, khi đó ta tìm được 11 giá trị của x.

Vậy phương trình sinx = 0 có 11 nghiệm trên đoạn [0; 10π].

Cách 2. Dùng đồ thị hàm số

Quan sát đồ thị ta thấy đồ thị hàm số y = sinx cắt trục hoành tại 11 điểm A ≡ O, B, C, …, M trên đoạn [0; 10π].

Vậy phương trình sinx = 0 có 11 nghiệm trên đoạn [0; 10π].

Bài 9 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Phương trình $\cot x = - 1$ có nghiệm là:

A.$ - \frac{\pi }{4} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

B.$\frac{\pi }{4} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

C.$\frac{\pi }{4} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

D.$ - \frac{\pi }{4} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Phương pháp:

Sử dụng công thức tổng quát của phương trình cot

Lời giải:

Ta có

$\begin{array}{l}\cot x{\rm{ }} = {\rm{ - 1}}\\ \Leftrightarrow \cot x{\rm{ }} = {\rm{ cot - }}\frac{\pi }{4}\\ \Leftrightarrow x{\rm{ }} = {\rm{ - }}\frac{\pi }{4} + k\pi ;k \in Z\end{array}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x{\rm{ }} = {\rm{ - }}\frac{\pi }{4} + k\pi ;k \in Z$

Chọn A

Bài 10 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Số nghiệm của phương trình $\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ trên đoạn $\left[ {0;\pi } \right]$ là:

A.4

B.1

C.2

D.3

Phương pháp:

Sử dụng công thức tổng quát của phương trình sin

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Cách 1. Giải phương trình lượng giác:

Ta có:

Bài 11 trang 42 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Vẽ đồ thị hàm số $y = \cos x$ trên đoạn $\left[ { - \frac{{5\pi }}{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right]$ rồi xác định số nghiệm của phương trình 3cosx + 2 = 0 trên đoạn đó.

Phương pháp:

Dựa vào vẽ đồ thị đã học để vẽ rồi xác định số nghiệm

Lời giải:

Vẽ đồ thị:

$3\cos x + 2 = 0$ trên đoạn $\left[ { - \frac{{5\pi }}{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right]$ có 4 nghiệm

Bài 12 trang 42 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Giải các phương trình sau:

a) $\sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}$

b) $\cos \left( {\frac{{3x}}{2} + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{2}$

c) $\sin 3x - \cos 5x = 0$

d) ${\cos ^2}x = \frac{1}{4}$

e) $\sin x - \sqrt 3 \cos x = 0$

f) $\sin x + \cos x = 0$

Phương pháp:

Sử dụng các công thức nghiệm của phương trình lượng giác

Lời giải:

Bài 13 trang 42 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Hằng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h (m) của mực nước trong kênh tính theo thời gian t (giờ) trong một ngày $\left( {0 \le t < 24} \right)$ cho bởi công thức $h = 3\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) + 12$. Tìm t để độ sâu của mực nước là

a) 15m

b) 9m

c) 10,5m

Phương pháp:

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình hàm số cos

Lời giải:

+) Độ sâu của mực nước là 15m thì h = 15.

Khi đó

$\begin{array}{l}15 = 3\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) + 12\\ \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) = 1\\ \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) = \cos 0\\ \Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{6} + 1 = k2\pi \\ \Leftrightarrow t = \frac{{6\left( {k2\pi - 1} \right)}}{\pi };k \in Z\end{array}$

Vì $0 \le t < 24$ nên

$\begin{array}{l}0 \le \frac{{6\left( {k2\pi - 1} \right)}}{\pi } \le 24\\ \Leftrightarrow 0 < k \le 2\end{array}$

Lại do $k \in Z \Rightarrow k \in \left\{ {1;2} \right\} \Rightarrow t \in \left\{ {\frac{{6\left( {2\pi - 1} \right)}}{\pi };\frac{{6\left( {4\pi - 1} \right)}}{\pi }} \right\}$

+) Độ sâu của mực nước là 9m thì h = 9.

Khi đó

$\begin{array}{l}9 = 3\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) + 12\\ \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) = - 1\\ \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) = \cos \pi \\ \Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{6} + 1 = \pi + k2\pi \\ \Leftrightarrow t = \frac{{6\left( {k2\pi + \pi - 1} \right)}}{\pi };k \in Z\end{array}$

Vì $0 \le t < 24$ nên

$\begin{array}{l}0 \le \frac{{6\left( {k2\pi + \pi - 1} \right)}}{\pi } \le 24\\ \Leftrightarrow 0 < k \le 1\end{array}$

Lại do $k \in Z \Rightarrow k = 1 \Rightarrow t = \frac{{6\left( {3\pi - 1} \right)}}{\pi }$

+) Độ sâu của mực nước là 10,5m thì h = 10,5.

Khi đó

$\begin{array}{l}10,5 = 3\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) + 12\\ \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) = - \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) = \cos \frac{{2\pi }}{3}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{\pi t}}{6} + 1 = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\\frac{{\pi t}}{6} + 1 = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{6\left( {\frac{{2\pi }}{3} + k2\pi - 1} \right)}}{\pi };k \in Z\\t = \frac{{6\left( { - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi - 1} \right)}}{\pi };k \in Z\end{array} \right.\end{array}$

Với $t = \frac{{6\left( {\frac{{2\pi }}{3} + k2\pi - 1} \right)}}{\pi };k \in Z$

Vì $0 \le t < 24$ nên

$\begin{array}{l}0 \le \frac{{6\left( {\frac{{2\pi }}{3} + k2\pi - 1} \right)}}{\pi } \le 24\\ \Leftrightarrow 0 \le k \le 2\end{array}$

Lại do $k \in Z \Rightarrow k \in \left\{ {0;1;2} \right\} \Rightarrow t \in \left\{ {\frac{{6\left( {\frac{{2\pi }}{3} - 1} \right)}}{\pi };\frac{{6\left( {\frac{{8\pi }}{3} - 1} \right)}}{\pi };\frac{{6\left( {\frac{{14\pi }}{3} - 1} \right)}}{\pi }} \right\}$

Với $t = \frac{{6\left( { - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi - 1} \right)}}{\pi };k \in Z$

Vì $0 \le t < 24$ nên

$\begin{array}{l}0 \le \frac{{6\left( { - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi - 1} \right)}}{\pi } \le 24\\ \Leftrightarrow 0 < k \le 2\end{array}$

Lại do $k \in Z \Rightarrow k \in \left\{ {1;2} \right\} \Rightarrow t \in \left\{ {\frac{{6\left( { - \frac{{2\pi }}{3} - 1} \right)}}{\pi };\frac{{6\left( {\frac{{4\pi }}{3} - 1} \right)}}{\pi };\frac{{6\left( {\frac{{10\pi }}{3} - 1} \right)}}{\pi }} \right\}$

Bài 14 trang 42 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Một cây cầu có dạng cung OA của đồ thị hàm số $y = 4,8\sin \frac{x}{9}$ và được mô tả trong hệ trục tọa độ với đơn vị trục là mét như ở Hình 40.

a) Giả sử chiều rộng của con sông là độ dài đoạn thẳng OA. Tìm chiều rộng đó (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười)

b) Một sà lan chở khối hàng hóa được xếp thành hình hộp chữ nhật với độ cao 3,6m so với mực nước sông sao cho sà lan có thể đi qua được gầm cầu. Chứng minh rằng chiều rộng của khối hàng hóa đó phải nhỏ hơn 13,1m.

c) Một sà lan khác cũng chở khối hàng hóa được xếp thành hình hộp chữ nhật với chiều rộng của khối hàng hóa đó là 9m sao cho sà lan có thể đi qua được gầm cầu. Chứng minh rằng chiều cao của khối hàng hóa đó phải nhỏ hơn 4,3m