Giải SGK Toán 11 trang 51, 52 Cánh Diều tập 1

Bài 1 trang 51 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng? Vì sao?

a)    \(10; - 2; - 14; - 26; - 38\)

b)    \(\frac{1}{2};\frac{5}{4};2;\frac{{11}}{4};\frac{7}{2}\)

c)    \(\sqrt 1 ;\sqrt 2 ;\sqrt 3 ;\sqrt 4 ;\sqrt 5 \)

d)    1; 4; 7; 10; 13

Phương pháp:

Dựa vào định nghĩa cấp số cộng để xác định

Lời giải:

a)    Ta có:

\(\begin{array}{l}10 + \left( { - 12} \right) =  - 2\\ - 2 + \left( { - 12} \right) =  - 14\\ - 14 + \left( { - 12} \right) =  - 26\\ - 26 + \left( { - 12} \right) =  - 38\end{array}\)

Dãy số là cấp số cộng

b)    Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4}\\\frac{5}{4} + \frac{3}{4} = 2\\2 + \frac{3}{4} = \frac{{11}}{4}\\\frac{{11}}{4} + \frac{3}{4} = \frac{7}{2}\end{array}\)

 Dãy số là cấp số cộng

c)    Không xác định được d giữa các số hạng

 Dãy số không là cấp số cộng

d)    Ta có:

 \(\begin{array}{l}1 + 3 = 4\\4 + 3 = 7\\7 + 3 = 10\\10 + 3 = 13\end{array}\)

Dãy số là cấp số cộng

Bài 2 trang 52 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với số hạng tổng quát sau, dãy số nào là cấp số cộng? Nếu là cấp số cộng, hãy tìm số hạng đầu \({u_1}\) và công sai d.

a)    \({u_n} = 3 - 2n\)

b)    \({u_n} = \frac{{3n + 7}}{5}\)

c)    \({u_n} = {3^n}\)

Phương pháp:

Dựa vào công thức tổng quát của cấp số cộng để xác định

Lời giải:

Bài 3 trang 52 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} =  - 3\), công sai d = 5

a)    Viết công thức của số hạng tổng quát \({u_n}\)

b)    Số 492 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng trên?

c)    Số 300 có là số hạng nào của cấp số cộng trên không?

Phương pháp:

Dựa vào các kiến thức vừa học để xác định

Lời giải:

a)    Ta có: \({u_n} =  - 3 + \left( {n - 1} \right).5\)

b)    Ta có:

\(\begin{array}{l}492 =  - 3 + \left( {n - 1} \right).5\\ \Leftrightarrow n - 1 = 99\\ \Leftrightarrow n = 100\end{array}\)

492 là số hạng thứ 100 của cấp số cộng

c)    Ta có: \(300 =  - 3 + \left( {n - 1} \right).5 \Leftrightarrow n - 1 = 60,6\)

300 không là số hạng của cấp số cộng

Bài 4 trang 52 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 4;{u_2} = 1\). Tính \({u_{10}}\)

Phương pháp:

Dựa vào công thức tổng quát để xác định 

Lời giải:

Công sai của cấp số cộng (u_n) là d = u₂ – u₁ = 1 – 4 = – 3.

Khi đó số hạng tổng quát của cấp số cộng là: u_n = u₁ + (n – 1).d = 4 + (n – 1).(– 3)

Suy ra u₁₀ = 4 + (10 – 1).(– 3) = 31.

Công sai của cấp số cộng (u_n) là d = u₂ – u₁ = 1 – 4 = – 3.

Khi đó số hạng tổng quát của cấp số cộng là: u_n = u₁ + (n – 1).d = 4 + (n – 1).(– 3)

Suy ra u₁₀ = 4 + (10 – 1).(– 3) = 31.

Bài 5 trang 52 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = \frac{1}{3}\,\,v\`a \,\,{u_1} + {u_2} + {u_3} =  - 1\)

a)    Tìm công sai d và viết công thức của số hạng tổng quát \({u_n}\)

b)    Số \( - 67\) là số hạng thứ mấy của cấp số cộng trên?

c)    Số 7 có phải là một số hạng của cấp số cộng trên không?

Phương pháp:

Dựa vào kiến thức về cấp số cộng để làm bài

Lời giải:

a)    Ta có:

\(\begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} =  - 1 \Leftrightarrow {u_1} + {u_1} + d + {u_1} + 2d =  - 1\\ \Leftrightarrow 3{u_1} + 3d =  - 1\\ \Leftrightarrow 3.\left( {\frac{1}{3}} \right) + 3d =  - 1\\ \Leftrightarrow 3d =  - 2\\ \Leftrightarrow d =  - \frac{2}{3}\end{array}\)

Công thức tổng quát của số hạng \({u_n}\): \({u_n} = \frac{1}{3} + \left( {n - 1} \right)\left( { - \frac{2}{3}} \right)\)

b)    Ta có:

\(\begin{array}{l} - 67 = \frac{1}{3} + \left( {n - 1} \right).\left( { - \frac{2}{3}} \right)\\ \Leftrightarrow n - 1 = 101\\ \Leftrightarrow n = 102\end{array}\)

 - 67 là số hạng thứ 102 của cấp số cộng

c)    Ta có:

\(\begin{array}{l}7 = \frac{1}{3} + \left( {n - 1} \right).\left( { - \frac{2}{3}} \right)\\ \Leftrightarrow n - 1 =  - 10\\ \Leftrightarrow n =  - 9\end{array}\)

 7 không là số hạng của cấp số cộng

Bài 6 trang 52 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Tính tổng 100 số hạng đầu của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = 0,3n + 5\) với mọi \(n \ge 1\)

Phương pháp:

Dựa vào công thức tính cấp số cộng để xác định

Lời giải:

Bài 7 trang 52 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Chiều cao (đơn vị: centimet) của một đứa trẻ n tuổi phát triển bình thường được cho bởi công thức: \({x_n} = 75 + 5\left( {n - 1} \right)\)

a)    Một đứa trẻ phát triển bình thường có chiều cao năm 3 tuổi là bao nhiêu centimet?

b)    Dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) có là một cấp số cộng không? Trung bình một năm, chiều cao mỗi đứa trẻ phát triển bình thường tăng lên bao nhiêu centimet?

Phương pháp:

Dựa vào công thức để xác định

Lời giải:

a)    Một đứa trẻ phát triển bình thường có chiều cao năm 3 tuổi là:

\({x_3} = 75 + 5\left( {3 - 1} \right) = 85\,\,\left( {cm} \right)\)

b)    Dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) có là cấp số cộng

Trung bình một năm, chiều cao mỗi đứa trẻ phát triển bình thường tăng lên chính là công sai của cấp số cộng. Ta có:

\({x_n} = 75 + 5\left( {n - 1} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 75\\d = 5\end{array} \right.\)

Vậy trung bình một năm, chiêu cao mỗi đứa trẻ phát triển bình thường tăng lên 5cm.

Bài 8 trang 52 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Khi kí kết hợp đồng lao động với người lao động, một doanh nghiệp đề xuất hai phương án trả lương như sau:

Phương án 1: Năm thứ nhất, tiền lương là 120 triệu. Kể từ năm thứ hai trở đi, mỗi năm tiền lương được tăng 18 triệu

Phương án 2: Quỹ thứ nhất, tiền lương là 24 triệu. Kể từ quý thứ hai trở đi, mỗi quý tiền lương được tăng 1,8 triệu.

Nếu là người được tuyển dụng vào doanh nghiệp trên, em sẽ chọn phương án nào khi:

a)    Kí hợp đồng lao động 3 năm?

b)    Kí hợp đồng lao động 10 năm?

Phương pháp:

Dựa vào cấp số cộng để xác định lương của từng phương án

Lời giải:

+) Theo phương án 1: Gọi (un) là dãy số tiền lương của người lao động theo phương án 1 qua mỗi năm. Dãy số (un) lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu u1 = 120 và công sai d = 18.

Khi đó số hạng tổng quát của cấp số nhân là: un = 120 + (n – 1).18.

+) Theo phương án 2: Gọi (vn) là dãy số tiền lương của người lao động theo phương án 2 qua từng quý. Dãy số (vn) lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu v1 = 24 và công sai d = 1,8.

Khi đó số hạng tổng quát của cấp số nhân là vn = 24 + (n – 1).1,8.

a) Khi kí hợp đồng 3 năm tương đương với 12 quý ta có:

+) Theo phương án 1: u3 = 120 + (3 – 1).18 = 156 (triệu đồng)

Tổng số tiền lương nhận được sau 3 năm là:

Sachbaitap.com