Giải SGK Toán 11 trang 84, 85 Chân trời sáng tạo tập 1

Bài 1 trang 84 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Xét tính liên tục của hàm số:

a) $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 1}&{khi\,\,x \ge 0}\\{1 - x}&{khi\,\,x < 0}\end{array}} \right.$ tại điểm $x = 0$.

b) $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 2}&{khi\,\,x \ge 1}\\x&{khi\,\,x < 1}\end{array}} \right.$ tại điểm $x = 1$.

Phương pháp:

Xét tính liên tục của hàm số $f\left( x \right)$ tại điểm ${x_0}$.

Bước 1: Kiểm tra ${x_0}$ thuộc tập xác định không. Tính $f\left( {{x_0}} \right)$.

Bước 2: Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)$ (nếu có).

Bước 3: Kết luận:

• Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$ thì hàm số liên tục tại điểm ${x_0}$.

• Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) \ne f\left( {{x_0}} \right)$ hoặc không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)$ thì hàm số không liên tục tại điểm ${x_0}$.

Lời giải:

a) Dễ thấy x = 0 thuộc tập xác định của hàm số.

$f\left( 0 \right) = {0^2} + 1 = 1$

Ta có:       $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {{x^2} + 1} \right) = {0^2} + 1 = 1$

                   $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {1 - x} \right) = 1 - 0 = 1$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = 1$ nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = 1 = f\left( 0 \right)$.

Vậy hàm số liên tục tại điểm $x = 0$.

b)Dễ thấy x = 1 thuộc tập xác định của hàm số.

$f\left( 1 \right) = {1^2} + 2 = 3$

Ta có:       $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} + 2} \right) = {1^2} + 2 = 3$

                   $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} x = 1$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right)$ nên không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)$.

Vậy hàm số không liên tục tại điểm $x = 1$.

Bài 2 trang 84 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}}}&{khi\,\,x \ne  - 2}\\a&{khi\,\,x =  - 2}\end{array}} \right.$.

Tìm $a$ để hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

Phương pháp:

Bước 1: Xét tính liên tục của hàm số trên từng khoảng xác định.

Bước 2: Tính $f\left( {{x_0}} \right)$.

Bước 3: Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)$.

Bước 4: Giải phương trình $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$ để tìm $a$.

Lời giải:

Trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 2} \right)$ và $\left( { - 2; + \infty } \right)$, $f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}}$ là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên từng khoảng $\left( { - \infty ; - 2} \right)$ và $\left( { - 2; + \infty } \right)$.

Ta có: $f\left( { - 2} \right) = a$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \left( {x - 2} \right) =  - 2 - 2 =  - 4$

Để hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thì hàm số $y = f\left( x \right)$ phải liên tục tại điểm ${x_0} =  - 2$.  Khi đó:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right) \Leftrightarrow a =  - 4$.

Vậy với $a =  - 4$ thì hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

Bài 3 trang 85 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Xét tính liên tục của các hàm số sau:

a) $f\left( x \right) = \frac{x}{{{x^2} - 4}}$;

b) $g\left( x \right) = \sqrt {9 - {x^2}}$;   

c) $h\left( x \right) = \cos x + \tan x$.

Phương pháp:

Để tính xét tính liên tục của hàm số, ta tìm những khoảng xác định của hàm số đó.

Lời giải:

Quảng cáo

Bài 4 trang 85 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Cho hàm số $f\left( x \right) = 2x - \sin x,g\left( x \right) = \sqrt {x - 1}$.

Xét tính liên tục hàm số $y = f\left( x \right).g\left( x \right)$ và $y = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}$.

Phương pháp:

Xét tính liên tục của các hàm số $f\left( x \right)$ và $g\left( x \right)$ sau đó áp dụng định lí về tính liên tục của tích, thương hai hàm số.

Lời giải:

• Xét hàm số $f\left( x \right) = 2x - \sin x$ có tập xác định $D = \mathbb{R}$.

Vậy hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

• Xét hàm số $g\left( x \right) = \sqrt {x - 1}$

ĐKXĐ: $x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1$

Hàm số $g\left( x \right) = \sqrt {x - 1}$ có tập xác định $D = \left[ {1; + \infty } \right)$.

Hàm số $g\left( x \right) = \sqrt {x - 1}$ là hàm căn thức nên liên tục trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \sqrt {x - 1}  = \sqrt {1 - 1}  = 0 = g\left( 1 \right)$

Do đó hàm số $g\left( x \right) = \sqrt {x - 1}$ liên tục tại điểm ${x_0} = 1$.

Vậy hàm số $g\left( x \right) = \sqrt {x - 1}$ liên tục trên nửa khoảng $\left[ {1; + \infty } \right)$.

• Xét hàm số $y = f\left( x \right).g\left( x \right) = \left( {2x - \sin x} \right)\sqrt {x - 1}$

Do hàm số $y = f\left( x \right)$ và $y = g\left( x \right)$ đều liên tục tại mọi điểm ${x_0} \in \left[ {1; + \infty } \right)$ nên hàm số $y = f\left( x \right).g\left( x \right)$ liên tục trên nửa khoảng $\left[ {1; + \infty } \right)$.

• Xét hàm số $y = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{{2x - \sin x}}{{\sqrt {x - 1} }}$

Do hàm số $y = f\left( x \right)$ và $y = g\left( x \right)$ đều liên tục tại mọi điểm ${x_0} \in \left[ {1; + \infty } \right)$ nên hàm số $y = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}$ liên tục trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$.

Bài 5 trang 85 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Một bãi đậu xe ô tô đưa ra giá $C\left( x \right)$ (đồng) khi thời gian đậu xe là $x$ (giờ) như sau:

$C\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{60000}&{khi\,\,0 < x \le 2}\\{100000}&{khi{\rm{ }}2 < x \le 4}\\{200000}&{khi{\rm{ }}4 < x \le 24}\end{array}} \right.$

Xét tính liên tục của hàm số $C\left( x \right)$.

Phương pháp:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Xét tính liên tục của hàm số trên từng khoảng xác định.

Bước 3: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm ${x_0} = 2,{x_0} = 4$ và ${x_0} = 24$.

Bước 4: Kết luận.

Lời giải:

Bài 6 trang 85 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Lực hấp dẫn do Trái Đất tác dụng lên một đơn vị khối lượng ở khoảng cách $r$ ở tỉnh từ tâm của nó là

$F\left( r \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{GM{\rm{r}}}}{{{R^3}}}}&{khi\,\,0 < x < R}\\{\frac{{GM}}{{{r^2}}}}&{khi\,\,r \ge R}\end{array}} \right.$

trong đó $M$ là khối lượng, $R$ là bán kính của Trái Đất, $G$ là hằng số hấp dẫn.

Hàm số $F\left( r \right)$ có liên tục trên $\left( {0; + \infty } \right)$ không?

Phương pháp:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Xét tính liên tục của hàm số trên từng khoảng xác định.

Bước 3: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm ${r_0} = R$.

Bước 4: Kết luận.

Lời giải:

Hàm số $F\left( r \right)$ có tập xác định là $\left( {0; + \infty } \right)$.

Hàm số $F\left( r \right)$ xác định trên từng khoảng $\left( {0;R} \right)$ và $\left( {R; + \infty } \right)$ nên hàm số liên tục trên các khoảng đó.

Ta có: $F\left( R \right) = \frac{{GM}}{{{R^2}}}$

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{r \to {R^ + }} F\left( r \right) = \mathop {\lim }\limits_{r \to {R^ + }} \frac{{GM}}{{{r^2}}} = \frac{{GM}}{{{R^2}}}\\\mathop {\lim }\limits_{r \to {R^ - }} F\left( r \right) = \mathop {\lim }\limits_{r \to {R^ - }} \frac{{GMr}}{{{R^3}}} = \frac{{GMR}}{{{R^3}}} = \frac{{GM}}{{{R^2}}}\end{array}$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{r \to {R^ + }} F\left( r \right) = \mathop {\lim }\limits_{r \to {R^ - }} F\left( r \right) = \frac{{GM}}{R}$ nên $\mathop {\lim }\limits_{r \to R} F\left( r \right) = \frac{{GM}}{R} = F\left( R \right)$.

Vậy hàm số $F\left( r \right)$ liên tục tại điểm ${r_0} = R$.

Vậy hàm số $F\left( r \right)$ liên tục trên $\left( {0; + \infty } \right)$.

Sachbaitap.com